문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼차방정식 (문단 편집) === [[환원 불능]] === [math(u^3)]과 [math(v^3)]에 관한 이차방정식에서 [[판별식]] [math(D)]가 || [math(\begin{aligned} D &= {\left(\frac q2\right)}^2 + {\left(\frac p3\right)}^3 \\ &= {\left\{\frac c{3a}-\frac19{\left(\frac ba\right)}^2\right\}}^3 + {\left\{\frac1{27}{\left(\frac ba\right)}^3-\frac{bc}{6a^2}+\frac d{2a}\right\}}^2 \\ &= {\left(\frac{c^3}{27a^3} - \frac1{27}\frac{b^2c^2}{a^4}\mathbin{\color{red}+}{\color{red}\cancel{\frac1{81}\frac{b^4c}{a^5}}}\mathbin{\color{blue}-}{\color{blue}\cancel{\frac1{729}\frac{b^6}{a^6}}}\right)}+{\left({\color{blue}\cancel{\frac1{729}\frac{b^6}{a^6}}}+\frac1{36}\frac{b^2c^2}{a^4}+\frac14\frac{d^2}{a^2}\mathbin{\color{red}-}{\color{red}\cancel{\frac1{81}\frac{b^4c}{a^5}}}+\frac1{27}\frac{b^3d}{a^4}-\frac16\frac{bcd}{a^3}\right)} \\ &= \frac{27a^2d^2-b^2c^2+4ac^3+4b^3d-18abcd}{108a^4}<0 \end{aligned})] || 일 경우 해의 형태는 복소수의 세제곱근을 포함하는 복잡한 식이 되는데, '''이 경우가 세 근이 실근'''인 경우[* 아울러 [math(D = 0)]이면 중근 혹은 삼중근, [math(D>0)]이면 실근 한 개와 두 허근을 갖는다. 전술한 것처럼 해의 형태가 [math(\omega^k\sqrt[3]\alpha+\omega^{3-k}\sqrt[3]\beta)]로서 서로 [[켤레복소수]] 관계에 있는 [math(\omega^k)], [math(\omega^{3-k})]이 곱해진 세제곱근의 합으로 나타나기 때문에, [math(D>0)]이면 실근이 하나([math(k=0 \Rightarrow \omega^3 = \omega^0 = 1)]이 되는 경우)라는 점은 자명하게 알 수 있다.]이고, 실수만을 이용해서 어떻게 표현되는지는 '''카르다노의 공식만으로는 알 수가 없다.'''[* [[유리수]]로 된 해가 있는지를 알아내려면 [[유리근 정리]]와 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_(polynomials)|가우스의 다항식 보조정리]]를 이용해야 한다. 그러나 저 두 이론도 유리근의 후보를 제시하는 것 뿐이라 [[예상과 확인|하나하나 대입해봐야 근인지 아닌지 알 수 있다]].] 이미 근 하나를 알고 있지 않는 한 실근으로 나타낼 수 있는 방법이 없으며[* 식 하나에 실수부와 허수부의 계수 2개가 들어간 [[무한 루프|삼차방정식을 또 풀어야 하기 때문에]] 풀리지 않는다.] 이를 [[환원 불능]](casus irreducibilis)이라고 한다. 이를테면 다음과 같은 방정식 || [math(x^3 - 15x - 4 = 0)] || 은 [math(x = 4)]를 근으로 가지므로 위 방정식은 [math((x - 4)(x + 2+\sqrt3)(x + 2-\sqrt3) = 0)]으로 인수분해가 되는데, 위의 카르다노의 공식을 적용하면 [math(D = (-2)^2 + (-5)^3 = -121<0)]이 되기 때문에 || [math(x = {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k\sqrt[3]{2+11i} + {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}\sqrt[3]{2-11i} \quad (k=0,\,1,\,2))] || 로 ~~쓸데없이~~ 너저분한 식이 된다. 이 경우엔 다음과 같이 해결이 된다. 우선 [math(k=0)]이면 두 세제곱근 항의 계수가 [math(1)]이 되므로 근은 세제곱근의 합임을 알 수 있는데 앞서 [math(u^3)]과 [math(v^3)]이 켤레근의 관계에 있다는 점에 착안하여, 두 세제곱근 역시 각각 켤레복소수의 관계에 있다고 가정하면 [math(\sqrt[3]{2\pm11i} = a\pm bi)]이며 두 세제곱근의 합이 [math(x = 4)]를 나타내는 것이라고 할 수 있으므로 [math(a = 2)]이고, 양변을 세제곱해서 [math(b)]를 구하면 [math(b = 1)]이 된다. 즉 위의 해는 || [math(x = {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k(2 + i) + {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}(2 - i) \quad (k=0,\,1,\,2))] || 로 고쳐쓸 수 있고, [math(x = -2-\sqrt3)]은 [math(k = 1)]일 때, [math(x = -2+\sqrt3)]은 [math(k = 2)]일 때의 근임을 알 수 있다. 그런데 이렇게 실근 하나를 모르고 있는 상태라면 복소수의 세제곱근이 [math(a + bi)]의 꼴로 나타내어진다고 식을 세우고 실수부와 허수부의 관계를 비교하여 방정식을 풀어야하는데, 결과적으로 또 다른 삼차방정식을 푸는 상황으로 귀결되며 이는 나중에 [[갈루아 이론]]에서 어떤 한 유리근의 존재를 모른다면 실수로 환원할 수 없음이 증명되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기