문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 서수(수학) (문단 편집) === 유한서수 === '''유한서수'''는 원소의 개수가 유한한 서수이다. 아래의 몇가지 성질에 의해 유한서수를 찾을 수 있다. 1. 공집합 [math(\empty)]은, 정렬집합이면서 추이적집합이므로 서수이다. 원소가 없으므로 볼것도 없기 때문이다.[* 이런 경우를 "공허하게 참(vacuous truth)" 이라고 한다.] 1. [math(\alpha)]가 서수이면 [math(S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\})]도 서수이다. [math(x\in S(\alpha))]이면, [math(x=\alpha)]이거나, [math(x\in\alpha)]인데, 어느 쪽이든 [math(y\in x)]에 대하여 [math(y\in S(\alpha))]이기 때문이다. [math(S(\alpha))]를 [math(\alpha)]의 successor이라고 하며, [math(\beta=S(\alpha))]인 [math(\alpha)]가 존재하면 [math(\beta)]를 successor ordinal 이라고 한다. [math(\empty)]에 유한번 [math(S)]를 적용하여, 얻은 집합 [math(S(S(\cdots(S(\alpha))\cdots)))]은 서수이다.[* 물론 이 집합의 존재성은 무한공리에 의해 보장된다. 자세한 것은 [[ZFC 공리계#s-2.7]] 참조.] 폰 노이만은 [math(\empty)]를 0, [math(S(\empty))]를 1, [math(S(S(\empty)))]를 2,[math(S(S(S(\empty))))]를 3, 등으로 정의했다. 이 정의에 의하면, 자연수가 일종의 서수가 된다. 서수가, 어떤 자연수와 1:1 대응이 존재하면 '''유한 서수'''라고 한다. 그러면, 자연수가 아닌 유한 서수가 존재하는지에 대해 자동적으로 의문이 생길 것이다. 이에 대한 답은 물론 "없다"이다. 임의의 서수 [math(\alpha)]에 대하여, [math(\beta\in\alpha)]도 서수가 되기 때문이다. 구체적으로, 자연수가 아닌 유한 서수 중에 원소 수가 제일 작은 서수의 원소수를 [math(n)]이라고 하자. [math(\alpha)]를 원소의 갯수가 [math(n)]인 서수라고 하자. 그런데, 두 유한서수 [math(x,y)]에 대하여 [math(x\in y)]이면, [math(x\subsetneq y)]이므로, [math(x)]의 원소의 갯수가 [math(y)]보다 적다. 따라서, [math(\alpha)]의 원소는 [math(n-1)]이하의 자연수여야 한다. 그런데, 원소의 갯수가 모두 [math(n)]개이므로, [math(\alpha=\{0,1,\cdots,n-1\}=n)] 가 성립한다. 즉, 원소의 갯수가 [math(n)]개인 서수는 모두 같은 집합이 나오므로 가정에 모순이 된다. 그래서, 자연수는 유한 서수 그 자체이다. 서수로서의 자연수의 집합을 [math(\omega)]라고 쓴다. 물론, [math(\omega=\mathbb{N})]이지만, 서수로서의 성질이 중요할 때, [math(\mathbb{N})] 대신 [math(\omega)]을 쓰는 것이다. 다음 각 조건들은 어떤 서수[math(\alpha)]가 유한 서수일 필요충분 조건이다. * [math(\alpha<\omega)] * [math(\alpha)]를 서수로 갖는 집합을 [math(A)]라고 할 때, [math(\left|A\right|<\aleph_{0})]가 성립한다. 즉, 폰 노이만 정의에 의해 유한집합이다. * [math(\left(\alpha,\preceq\right))]의 역순서인 [math(\left(\alpha,\succeq\right))]가 어떤 부분집합을 취하더라도 최소원소를 지닌다. * 위상수학적으로 [math(\alpha)]에 순서 위상을 부여할 때, 집적점을 지니지 않는다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기