문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 선형대수학 (문단 편집) === 수학과/수학교육과 학생들은 === 선형대수학은 현대의 모든 수학분야에 활용되는 중추 학문이다. 그리고 학부생에겐 [[해석학(수학)|해석학]]과 함께 처음으로 배우는 '''진짜 수학'''.[* 여기서 '진짜'라는 의미는 직관적인 수준을 넘어, 엄밀한 논리의 영역으로 들어선다는 의미이다. 물론 엄밀함의 기준은 주로 집합론이지만, 수학기초론을 제외한 대부분의 수학 분야의 연구 양상은 엄밀함 그 자체만을 위한 연구는 아니기 때문에 학부 과정에서는 서수(ordinal number)와 기수(cardinal number)의 기본 성질에 대해 살짝 훑는 것, 집합론의 공리적 방법을 소개하는 정도에서 그치며, 그 외에는 해석학, 선형대수학, 현대대수학, 위상수학 등에서 정의, 정리, 증명 연습을 반복하며 가다듬는 것만으로도 족하다. ] 고교 때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐이며 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형 정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더 이상 [[벡터(유클리드 기하학)|당신이 직관적으로 상상하는 유클리드 기하학의 그 벡터]]가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일 뿐이다. 모든 [math(\mathbb{R} \to \mathbb{R})] 함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여 성분별로(영어로는 component-wise 또는 element-wise) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 [math(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R})] 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터 공간에서 [[연속함수]]만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들 수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들 수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼 중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫 번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다.[* 다만 주로 해석학 계열 과목에서만 나타나는 해석개론과는 달리, 선형대수는 호몰로지/가환/비가환대수, 표현론, 대수적 정수론 등의 대수학 테크와 편미분방정식, 동역학계, 작용소 대수, 광역/조화해석 등의 해석학 테크, 대수/심플레틱/이산 기하, 기하위상 등의 기하학 테크에서 모두 필요하다는 것이 차이점.] 수학과의 선형대수 과정은 [[추상대수학|추상적인 대수적 개념들]]과 [[선형함수]]를 먼저 배운 후에[* 행렬에서 사용하는 열공간(column space), 영공간(null space) 등의 말이 선형사상의 핵(kernel), 사상(image) 이런 식으로 둔갑하게 된다.], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 [[선형대수학의 기본정리|연결고리]]를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다.[* 덕분에 행렬이 등장하기 전까지 어두컴컴한 추상의 세계에서 헤메다가 행렬이 등장하는 시점에 가서야 지금까지 배웠던 게 무엇인지 깨닫는 경우가 많다. 일부러 이런 방식으로 커리큘럼을 짜놓고 후반부에 카타르시스(?)를 유도하는 ~~연출가~~ [[교수]]들도 있다. 이런 식으로 행렬의 도입을 늦추는 교수를 만날 경우, [[엡실론-델타 논법]]의 도입까지가 힘들어서 그렇지 익숙해지면 챕터마다 진입장벽의 높이가 고만고만해지는 해석학과 대조적으로 선형대수학을 깊이 파고들수록 난해함이 가중될 수 있다.] 공학수학 쪽에서 다루지 않는 개념으로 쌍대공간(dual space)와 이중선형형식(bilinear form), 불변공간(invariant space) 등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학 분야에서 베이스로 깔고 들어가기 때문에 맘만 먹으면 얼마든지 현대대수에서 고급 예시나 개념을 끌고 들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런 경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 어지간한 계산은 공대생들이 더 잘한다. 공대생들이 수학과생들과 달리 계산기를 써서 정확하게 계산한다는 단순한 말이 아니라, 행렬의 LU 분해나 행렬식 하나하나 계산하여 수반행렬 수하기 같은 테크니컬한 부분보다는 더 많고 어렵고 깊고 이상한(...) 진도를 나가려면 어쩔 수 없어서이다. 테크니컬한 부분은 아니더라도 학부에서 기본적인 선형대수 진도를 뺀 후 해석학을 접목하는 경우도 적지 않은데, 이 또한 '이상한 진도'에 해당하는 경우로 선형 및 연립 미분방정식이나 Matrix exponential, 푸리에 해석등 미분방정식 과목에서나 나올법한 진도들이 튀어나오기도 하여 대수적 사고방식을 타 영역에 이식하는 과정을 중요시 여기는 교수들도 적지 않다. 입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 [[대수학]]의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 직관적인 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다.[* 군의 준동형사상(homomorphism)과 선형사상(linear map), 부분군(subgroup)과 부분공간(subspace)의 유사성 등을 예로 들 수 있을 것이다.] 하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다.[* 사실 정수론을 '즐긴' ~~올림피아드 공부 경력자~~ 일부 학생들은 선형대수학보다 현대대수학 수업을 더 수월하게 해내고 현대대수학을 통해 대수학을 체화하기도 한다. 실제로 여러 학부 수준 현대대수학 교과서의 초반부는 선형대수학을 전혀 공부하지 않은 학생들도 어떻게든 해낼 수 있는 구성으로 시작하며, 선형대수학도 그렇게 현대대수학에서 차근차근 쌓아올린 대수학의 언어를 동원하여 시작하는 것이 더 쉽다고 주장하는 교수들도 있다. 하지만 대다수의 저학년생들에게 현대대수학이 다루는 추상적 구조는 너무 ~~매운맛~~ 난해하기에 보통은 선형대수학으로 대수학에 입문하고 체화하는 것이 이공계 수학교육의 정석으로 여겨지고 있다. 전세계적으로 많이 쓰이는 호프만의 교재가 현재는 많이 사용빈도가 줄어든 것이 바로 이것 때문.] 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"과 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다.[* 벡터공간과 선형사상, 군과 준동형사상, 대수학 뿐만 아니라 다른 수학에서도 위상(Topology)과 [[연속함수]]로 연결되는등 수많은 규칙이 등장한다. 이를 일반화한것이 바로 [[범주론|Category Theory]]의 Object와 Morphism. ] 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 핵(kernel)과 사상(image), 동형사상(isomorphism) 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부 대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 [[범주론|Category Theory]]로 귀결된다. 실제로, 쌍공간(dual space)를 설명하기 위해 범주(Category)와 함자(Functor) 개념을 도입하는 교수도 있다. 그리고 대수학적인 사고를 통해 수학에서 다루는 연관이 없어보이는 많은 대상들을 대수구조로 바라보는 시각을 키우며 이런 일반화된 대상을 통해 정립된 이론으로 구체화된 대상을 다루는 시각을 가지게 된다. 일례로 푸리에 급수나 공분산같은 개념을 그저 수식으로 이해하는 것과 내적공간의 한 형태로 이해하는것은 전혀 다른 관점이며 이를 이해하기 위해선 대수적 사고방식의 체득이 반드시 필요하다. 보통의 수학과 학생들의 선형대수학은 여기서 끝이며, 수학과 고학년생들은 [[미분기하학]], [[위상수학]]과 함께 [[수학과]]의 [[개노답 삼형제]]로 꼽히는 [[현대대수학]]을 마주하게 된다. 하지만 선형대수학이 여기서 완전히 끝나는 것은 아니다. 저학년 선형대수학 시간에 어렴풋이 이해하며 일단 시험을 앞두고 머릿속에 쑤셔넣기 바빴던 성질들을 현대대수학의 언어를 가지고 복습하면 시원스럽기 짝이 없는 쾌감을 맛볼 수 있다. 이 복습을 발판삼아 벡터공간의 성질에서 체로 설정되어 있는 스칼라를 환으로 슬쩍(?) 바꿔서 가군을 공부함으로써 가환대수학 등의 테크트리로 나아갈 수 있고, 해석학 테크트리를 선택한다면 벡터공간의 성질을 끌어와 다루며 함수해석학을 공부할 수도 있으며, 행렬의(혹은 선형사상의) [[군론|군]]과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 [[표현론]](Representation Theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나이다. 사람에 따라서는 선형대수학이 전공수학의 근본 중의 근본이라 보더라도 틀린 말은 아닐 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기