문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 유한 사상 (finite morphism) == 위에서 정의했듯이 [math(f:X\to S)]가 finite란 것은 모든 affine open subscheme [math(U={\rm Spec}\,A\subseteq S)]에 대해서 [math(f^{-1}(U)={\rm Spec}\,B)]꼴이고 [math(A\to B)]가 finite module을 이룰 때를 말한다. finite morphism의 가장 자명한 예로는 closed immersion이 있으며[* 간단히 quotient는 원소 하나로 생성되니까] finite extension [math(k'/k)]에 대해서 [math({\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,k)] 또한 finite morphism이 된다. 먼저 finite morphism에 대해서 제대로 하기 전에 dimension 0인 scheme의 구조부터 알아보자. [math(X)]가 dimension 0라고 해보자. 먼저 [math(X={\rm Spec}\,A)]일 땐 [math(A)]의 모든 prime ideal은 maximal ideal일 수밖에 없고, 따라서 모든 [math(X)]의 point들은 closed고 덤으로 두 point를 [math(\mathfrak{m},\mathfrak{n})]이라고 썼을 때 [math(D(\mathfrak{m}),D(\mathfrak{n}))]는 각각 [math(\mathfrak{n},\mathfrak{m})]를 포함하면서 서로 서로소이므로 [math({\rm Spec}\,A)]는 Hausdorff가 된다. 이제 여기에서 [math(A)]를 noetherian이라고 가정하면 [math({\rm Spec}\,A)]는 finite에 discrete topology를 가지게 되고, 다시 [math(A)]에 noetherian이란 가정을 빼면 모든 ring은 noetherian ring의 direct limit로 표현할 수 있으므로 다음 다섯은 동치가 된다. * [math(A)]는 Krull dimension 0 * [math({\rm Spec}\,A)]는 dimension 0 * [math({\rm Spec}\,A)]는 Hausdorff * [math({\rm Spec}\,A)]는 totally disconnected * [math({\rm Spec}\,A)]는 profinite set 여기에서 [math(A)]가 noetherian이란 조건을 붙혀주면 다음과도 동치가 된다. * [math({\rm Spec}\,A)]는 finite discrete topology를 가짐. 그리고 [math(A)]가 어떤 field [math(k)] 위의 finitely generated algebra라면 다음 둘은 동치가 된다. * [math(A)]는 artinian [math(k)]-algebra * [math({\rm Spec}\,A)]는 finite set * [math({\rm Spec}\,A)]는 discrete topology를 가짐 * [math(A)]는 Krull dimension 0 * [math(A)]는 finite [math(k)]-algebra 이는 위에서 만든 동치명제와 Hilbert basis theorem을 생각하자. 그러면 [math(A)]는 Noetherian이니까 (5)=>(1)=>(4)=>(3)=>(2)는 쉽게 증명할 수 있고 (4)=>(1)=>(5)도 쉽게 증명된다. (2)=>(4)는 먼저 Noether normalization lemma로 [math(A)]가 Krull dimension 0가 아니라면 [math({\rm Spec}\,A\to \mathbb{A}^1_k)]란 surjection map이 존재할 것이고, [math(k)]가 finite field라면 오른쪽은 유클리드의 소수 무한성 증명을 배껴서 infinite set임을 증명할 수 있고 [math(k)]가 infinite field라면 오른쪽은 [math((x-a))]란 자명한 prime ideal들이 있으니까 infinite set이다. [math(A\to B)]가 finite ring map이고 injection일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 surjection임을 보이자. 이는 어떤 [math(\mathfrak{q}\subseteq B)]가 inverse image가 없을 때 [math(\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=B_{\mathfrak{q}})]임을 알 수 있고, 따라서 Nakawama lemma로 [math(B_{\mathfrak{q}}=0)]가 되므로 모순이다. 따라서 저것은 surjection이어야 하고 이것으로 우리는 '''going-up property'''라는 걸 증명할 수 있다. 이는 [math(\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}'\subseteq A)]라는 prime ideal의 나열이 있고 [math(\mathfrak{q})]가 [math(\mathfrak{p})]에 대응되는 [math(B)]의 prime ideal일 때 적당한 [math(B)]의 prime ideal [math(\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{q}'\subseteq B)]가 있어서 [math(f^{-1}(\mathfrak{q}')=\mathfrak{p})]라는 내용의 성질이다. 이는 간단히 [math(A/\mathfrak{p}\to B/\mathfrak{q})]를 생각한다. [math(Z\subseteq X)]가 closed subscheme이고 [math(X\to S)]가 finite일 때 [math(Z)]는 [math(X)]의 어떤 point의 closure로 표현되고, 그 point를 [math(x\in X)]라고 한다면 going-up property로 [math(f(Z))]는 [math(f(x))]의 closure다. 따라서 finite morphism은 closed가 된다. 그리고 finite morphism은 base change에 대해서 불변이므로 finite morphism은 universally closed가 되며 affine morphism은 separated니까 finite morphism은 proper임을 알 수 있다. 훨씬 더 일반적으로, 다음 둘은 동치가 된다. * [math(f:X\to S)]는 integral morphism. 그러니까 affine morphism이고 이렇게 해서 만들어지는 extension of rings가 integral이다.[* 그러니까 위에 있는 ring의 모든 원소는 아래 있는 ring의 원소들을 coefficient로 갖는 monic polynomial의 zero로 표현된다.] * [math(f:X\to S)]는 affine and universally closed morphism이다. 이것의 증명은 생략하겠다. 이제 [math(X\to S)]가 '''quasi-finite'''라는 것을 of finite presentation이고 이것의 모든 fibre가 dimension 0일 때를 말한다고 하자. 이는 위에서 한 것으로 fibre가 dimension 0란 것은 모든 fibre가 finite set이란 것과 동치가 된다. 그리고 모든 finite morphism은 quasi-finite가 됨을 알 수 있다. 우리는 이제 다음을 증명할 것이다. > '''(Zariski main theorem)''' [math(S)]가 quasi-compact라고 하자. [math(X\to S)]가 quasi-finite고 separable이라면 적당한 scheme [math(X')]가 있어서 [math(X\to S)]는 [math(X\to X')]와 [math(X'\to S)]로 분해되며 [math(X\to X')]는 open immersion, [math(X'\to S)]는 finite가 된다. 이는 신기한 정리인데, finite morphism은 사실 fibre가 유한하다는 quasi-finite morphism하고 다를 바 없다는 정리이기 때문이다. 반대로 quasi-finite morphism은 open subscheme에서만 적용되는 finite morphism이라고 볼 수 있다. 다음을 증명해보자. > [math(A)]가 complete local ring이고 그 maximal ideal이 [math(\mathfrak{m})]고 [math(M)]이 [math(A)]-module이면서 [math(M/\mathfrak{m}M)]은 finite-dimensional [math(A/\mathfrak{m}A)]-vector space고 [math(\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}M=0)]라면 [math(M)]는 finite [math(A)]-module이다. 증명은 그냥 노가다...인데, [math(M/\mathfrak{m}M)]의 dimension에 따른 induction을 써보자. [math(M/\mathfrak{m}M=0)]이라면 [math(M=\mathfrak{m}M=\mathfrak{m}^2M=\cdots=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM=0)] 이고, 적당한 [math(e\in M)]이 있어서 [math(e)]를 [math(M/\mathfrak{m}M)]로 옮긴 걸 [math(\bar{e})]라고 쓰기로 하고 [math(M/\mathfrak{m}M=(\bar{e}))]라면 [math(M=\mathfrak{m}M+(e)=\mathfrak{m}(\mathfrak{m}M+(e))+(e)=\mathfrak{m}^2M+(e)=\cdots)] 가 되어서 complete란 조건으로 [math(M=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM+(e)=(e))] 가 된다. 그리고 일반적인 dimension에 대해선 basis들 중에서 한개만 남기고 미리 [math(M)]쪽으로 올리고 그 올린 것으로 만들어진 submodule을 [math(M')]라고 한 다음에 [math(M/M')]를 생각하면 이것은 바로 위에서 한 것으로 rank가 1이고 따라서 [math(M)]의 rank는 [math(M/\mathfrak{m}M)]의 rank와 같아지게 되므로 증명이 끝난다. 이것으로 [math(A)]가 complete local noetherian ring일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 quasi-finite가 되는 모든 [math(B)]들을 분류해보자. 먼저 [math(A)]의 maximal ideal로 가는 모든 [math(B)]의 prime ideal들을 모으면 이 prime ideal로 [math(B)]를 localize한 것은 Krull intersection theorem과 quasi-finite map의 정의, 그리고 위의 정리로 finite [math(A)]-module이 된다. 이런 prime ideal들을 [math(\mathfrak{q}_i)]라고 하면 [math(\bigsqcup_{\mathfrak{q}_i}{\rm Spec}\,{\cal O}_{X,\mathfrak{q}_i}\to {\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)] 를 만들 수 있고, 오른쪽은 quasi-finite여서 [math(A)]의 maximal ideal의 fibre가 discrete topology를 가지고 왼쪽은 Nakayama lemma로 open immersion이 되고 덤으로 valuative criterion을 생각하면 proper이므로 closed이기도 하고 따라서 [math({\rm Spec}\,B)] 안에서 왼쪽 map의 image는 clopen이 되고 따라서 clopen인 set은 ring을 둘로 쪼개게 되므로 [math(B=B_1\times B_2)]가 되고 특히 여기에 [math(A/\mathfrak{m})]을 tensoring하면 [math(B_2/\mathfrak{m}B_2=0)]가 되고 [math(B_1)]는 finite [math(A)]-module이 된다. 이를 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]의 관점에서 바라본다면 [math({\rm Spec}\,B)]는 [math(X_0\sqcup X_1)]로 나누어지는데 [math(X_0\to {\rm Spec}\,A)]는 finite morphism이고 [math(X_1\to {\rm Spec}\,A)]는 maximal ideal로 절대 가지 않는다.[* 이런 분류는 일반적으로 complete local ring이 아니더라도 Henselian local ring이면 성립한다. 그런데 Henselian에 대해서 이렇게 분류하는 건 Zariski main theorem을 필요로 한다. (...)] 이런 decomposition은 [math({\rm Spec}\,B)]를 일반적인 scheme으로 바꾸고 quasi-finite를 quasi-finite and separable이란 조건으로 바꿔도 성립한다. 이제 [math(A)]가 complete local noetherian ring이라고 하고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 proper고 quasi-finite라고 하자. 그러면 위의 decomposition으로 [math(X=X_0\sqcup X_1)]로 나눌 수 있는데, [math(X_1\to {\rm Spec}\,A)]는 절대로 closed point로 가지 않는데 proper이므로 closed고 따라서 [math(X_1)]은 공집합이다. 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 그냥 finite가 된다. 위에서 proper란 조건을 빼보자. 그러면 그냥 quasi-finite morphism은 quasi-affine이다. 이는 [math(A)]의 dimension에 대한 induction과 위의 decomposition을 쓰면 된다. 다음 [math(n)]에 대해서 maximal ideal 바로 아래에 있는 prime ideal에 대한 localization을 생각하는 것으로[* 이는 [math({\rm Spec}\,A)]가 아니라 그냥 어떤 scheme을 놓아도 성립한다.] 그러면 위의 두 가지를 조합하면 quasi-affine이면 quasi-projective고 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 [math({\rm Spec}\,A)]의 어떤 coherent sheaf의 projective spectrum을 생각해서 적당한 [math(X')]가 있어서 [math(X\to X'\to {\rm Spec}\,A)] 를 만들게 되는데, 왼쪽은 open immersion이고 오른쪽은 projective고 quasi-finite인데 projective면 proper고, proper고 quasi-finite면 finite니까 [math({\rm Spec}\,A)]에 대한 Zariski main theorem을 증명할 수 있다. 이제 [math(A)]에 complete란 조건을 빼보자. [math(A)]가 그냥 noetherian local ring이고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 quasi-finite면 [math(A)]의 completion을 [math(\hat{A})]라고 할 때 [math(A\to \hat{A})]은 [math(A)] 안에 유일하게 있는 ideal에 대해서 flatness criterion을 생각하면 faithfully flat이다. 이제 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]를 big fpqc site 안의 morphism으로 보고, [math(X\times_{{\rm Spec}\,A}{\rm Spec}\,\hat{A})]와 [math({\rm Spec}\,\hat{A}\to {\rm Spec}\,A)]를 각각 sheaf of algerbas를 생각해서 fpqc descent datum으로 생각한 다음에 faithfully flat descent를 쓴다. 그러면 open immersion이랑 finite란 성질은 faithfully flat으로 잘 옮겨가고, Zariski main theorem을 local noetherian ring에 대해서 증명할 수 있다. 이제 finiteness와 open immersion이란 성질은 local property니까 [math(A)]에 local이란 성질을 뺄 수 있다. [math(\mathfrak{p})]가 [math(A)]의 prime ideal일 때 [math(X\times {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}}\to {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}})]에 대해선 이미 증명했고 저것이 inverse limit임을 생각하면 적당한 [math(\mathfrak{p})]의 근방에서 증명할 수 있으니까. 덤으로 noetherian이란 조건도 뺄 수 있는데, quasi-finite의 정의에 of finite presentation이 있기 때문이다. 그리고 마지막으로 [math({\rm Spec}\,A)]을 일반적인 scheme [math(S)]로 바꿀 수 있고 증명이 끝난다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기