문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) === 형식 사상들 (formal morphisms) === 먼저 [math(B)]가 ring이라고 하고, [math(I\subseteq B)]가 [math(I^2=0)]를 만족하는 ideal이라고 하자. 이는 직관적으로 [math(B)]란 [math(B/I)]에다가 '''무한소'''를 추가한 것이다. 그렇다면 우리는 [math(X\to S)]가 morphism of schemes라고 하면 다음을 정의하자. 여기에선 functor of points에서 썼던 기호를 쓰자. * [math(f)]가 '''formally smooth'''라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 surjection인 것이다. * [math(f)]가 '''formally unramified'''라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 injection인 것이다. * [math(f)]가 '''formally étale'''이라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 bijection인 것이다. 이들은 cotangent complex하고 큰 상관이 있는데, 먼저 ring map [math(A\to B)]가 formally smooth인 것은 polynomial ring에서 오는 모든 surjection [math(P\to B)]에 대해서 이것의 kernel을 [math(J)]라고 하면 [math(P/J^2\to B)]는 section으로 [math(B\to P/J^2)]를 가진다는 것과 동치임을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 formally smooth라는 것은 [math(\Omega^1_{P/A}\otimes_P B=\Omega^1_{(P/J^2)/A}\otimes_P B)]의 direct calculation으로 [math(0\to J/J^2\to \Omega^1_{P/A}\otimes_P B\to \Omega^1_{B/A}\to 0)] 가 split exact sequence라는 것과 동치다. 이는 다시 cotangent complex로 옮기면 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 projective [math(B)]-module이란 것과 동치며 다음을 정의할 수 있다. * [math(A\to B)]가 '''smooth morphism'''이란 것은 이것이 of finite presentation이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 finite projective [math(B)]-module이고 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]일 때를 말한다. 이제 smooth morphism에 대해서 설명해보자. smooth morphism [math(\mathbb{X}\to {\rm Spec}\,\mathbb{Z}_p)]를 생각해볼 텐데, 여기 위의 [math(\mathbb{F}_p)]-point [math(\bar{x}\in X(\mathbb{F}_p))]를 생각하자. 그러면 smooth morphism은 formally smooth이므로 이는 적당히 [math( x\in X(\mathbb{Z}_p))]로 lift할 수 있다.[* [math(\mathbb{Z}_p)]는 [math(\mathbb{F}_p)]의 infinitesimal extension으로 볼 수 있다.] local ring 사이 local homomorphism [math(A\to B)]가 있다고 하고 이것이 smooth morphism이라고 하자. 그러면 이것은 flat인데, [math(A)]가 noetherian이라고 가정할 수 있고, 그러면 [math(A[x_1,\cdots,x_n]\to B)]를 생각하고 왼쪽 ring을 [math(B)]의 maximal ideal로 localize한 걸 [math(P)]라고 쓰고 이는 [math(A)] 위에서 flat이고 [math(P\to B)]의 kernel을 [math(I)]라고 한다면 formally smooth의 정의로 [math(B\to P/I^i)]를 만들 수 있고 따라서 [math(\hat{P}\to B)]의 section [math(B\to \hat{P})]를 만들 수 있다. 따라서 [math(B)]는 [math(\hat{P})]의 direct summand고 [math(\hat{P})]는 [math(A)]에서 flat이니 [math(B)]도 [math(A)]에서 flat이다. 그리고 flat은 local property니 [math(A,B)]가 local ring이란 가정을 하지 않아도 된다. 따라서 cotangent complex 할 때 마지막에서 두번째로 설명한 것으로 smooth morphism은 flat이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 finite projective인 것으로만 설명해도 된다. noetherian local ring [math(A)]이 '''regular'''라는 것을 이것의 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하면 [math(A)]의 Krull dimension이랑 [math(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)]를 [math(A/\mathfrak{m})]-vector space로 봤을 때의 dimension이랑 같다고 해보자. regular란 notion은 smooth란 notion하고 비슷한데, 대신 이것은 residue field에 대한 정보를 구체적으로 정하지 않는다. [math(A)]가 field [math(k)] 위에 있고 [math(k\to A)]는 smooth morphism이라고 해보자. 그러면 [math((A/\mathfrak{m})/k)]라는 field extension이 separable이 되어야 하고, 그러면 [math(k\to A\to A/\mathfrak{m})]는 [math(0\to \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to \Omega^1_{A/k}\otimes_A (A/\mathfrak{m})\to \Omega^1_{(A/\mathfrak{m})/k}\to 0)] 라는 exact sequence를 만들고, 맨 마지막이 사라지므로 다음을 얻을 수 있다. [math(\dim A=\dim_{A/\mathfrak{m}} \Omega^1_{A/k}\otimes_{k}(A/\mathfrak{m})=\dim_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)] 여기에서 첫번째는 smooth면 [math(\Omega^1_{A/k})]의 rank와 [math(A)]의 Krull dimension은 같다는 데에서 얻을 수 있다. 그러니까 smooth면 regular다. 하지만 역은 성립하지 않는데, 위에서 말했듯이 regular라는 조건은 residue field에 대해서 어떤 조건도 주지 않지만 smooth란 조건은 residue field에도 조건을 만들기 때문이다. 예를 들면 [math(\mathbb{F}_p(t)\to \mathbb{F}_p(t^{\frac{1}{p}}))]는 regular지만 smooth는 될 수 없다. 하지만 [math(k)]에 perfect field란 조건을 붙혀 준다면 regular와 smooth는 서로 동치조건이 된다. regular local ring of Krull dimension 1은 바로 discrete valuation ring이다. 이는 curve를 다룰 때 중요한데, smooth curve over a field는 모든 local ring이 generic point만 뺀다면 이런 discrete valuation ring이기 때문이다. 그리고 이럴 때 smooth curve의 rational function의 각 점에서의 degree는 maximal ideal로 만들어진 filtration에서 어느 부분에 들어가 있냐에 따라서 달라진다. formally unramified에 대해서 알아보자. [math(A\to B)]가 formally unramified map이라면 [math(I={\rm Ker}(B\otimes_A B\to B))]라고 하고 [math(\sigma_1,\sigma_2:B\to B\otimes_A B/I^2)] 둘을 [math(\sigma_1(b)=b\otimes 1, \sigma_2(b)=1\otimes b)]라고 하면 이 둘은 [math(B\otimes_A B/I)]에선 같고 따라서 formally unramified map의 정의로 [math(\sigma_1=\sigma_2)]로 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]가 나온다. 반대는 Kähler differentials의 universal property를 생각하면 formally unramified란 것은 그냥 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]이라는 것과 동치가 된다. 이제 다음을 정의하자. * [math(A\to B)]가 of finite presentation이고 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]이면 이를 '''unramified morphism'''이라고 하자. 두 local field 사이 local homomorphism [math(A\to B)]가 unramified라면 두 local ring의 residue field extension은 finite separable extension이 된다. 그리고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]가 되는데, 아니어서 [math(B/\mathfrak{m}_AB)]가 [math(B/\mathfrak{m}_B)] 위 dimension [math(n)]인 vector space라면 Nakayama lemma로 [math(\Omega^1_{B/A})]은 [math(A)] 위에서 rank n-1일 테고 이는 모순이다. 반대로 [math(A\to B)]가 of finite presentation이고, residue field extension이 finite separable이고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]라면 같은 Nakayama lemma로 [math(A\to B)]는 unramified가 된다. unramified morphism은 이름 그대로 umramified인 것들만 나타낼 수 있는데, 예를 들면 [math(L/K)]가 local field 사이의 totally ramified extension이고 [math(L^{\circ}/K^{\circ})]가 그 ring of integers 사이의 extension일 때 이것은 절대로 unramified morphism이 될 수 없다. 왜냐하면 maximal ideal을 옮기면 maximal ideal이란 성질이 깨지기 때문이다. 이제 다음을 정의하자. * [math(A\to B)]가 étale이라는 것은 flat이고 unramified인 것이다. 이는 간단하게 smooth이고 unramified인 것, 또는 of finite presentation이고 formally étale이라는 것과 동치임을 알 수 있다. 그리고 이럴 경우엔 [math(\hat{A}\to \hat{B})]는 isomorphism이 되고 local ring에 대해서만 생각하고 두 local ring이 어떤 algebraically closed field 위에 있다고 할 때 이것이 isomorphism이란 것과 [math(A\to B)]가 étale이라는 건 동치다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기