문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) === 갈루아 이론 (Galois theory) === 이제 우리는 field 위에서만 하던 갈루아 이론을 임의의 scheme으로 확장해보자. 위의 예제에서 [math(k)]가 field일 때 [math({\rm Spec}\,k)]의 finite étale covering은 사실 [math(k)]의 separable extension하고 아무 다를 게 없다. 그런 의미에서, finite flat morphism [math(f:X\to S)]의 degree를 [math(K(X)/K(S))]의 degree로 정의하고 finite étale morphism [math(f:X\to S)]가 '''Galois'''라는 것을 [math(S)]에선 identity인 [math(X)]의 automorphism의 갯수가 [math(f:X\to S)]의 degree하고 같을 때로 정의하자. 그리고 그 automorphism group을 [math({\rm Gal}(X/S))]라고 하자. [math(X\to S)]가 finite étale일 때 [math(X'\to X\to S)]라는 합성했을 때 Galois가 되는 finite étale morphism들은 언제나 존재한다. 이는 [math({\cal O}_{S}(U)\to {\cal O}_{X}(f^{-1}(U)))]라는 map은 integral extension을 만들고, 이제 이것이 Galois가 되도록 integral element의 conjugation을 열심히 붙혀주자. scheme [math(X)]의 '''geometric point'''란 separably closed field [math(k')]와 morphism [math({\rm Spec}\,k'\to X)]를 뜻한다. 이는 간단히 [math(X)]의 어떤 point의 residue field의 separably closed field를 잡아준 건데, field하곤 달리 scheme에선 그에 대응되는 separably closed field라는 개념이 없기 때문이다.[* 정확하게 말한다면, 있긴 있지만 그 모양새가 너무 괴팍해서 영 쓰기 껄끄럽다. 하지만 proétale topology를 할 때는 이 topology로 만들어지는 topos를 replete topos로 만들어주기에 꽤나 유용하게 쓰인다.] 그렇다면 [math(X)]가 connected라면 [math({\rm Spec}\,k)]의 image의 closure의 codimension에만 의존하도록 Galois group을 정의할 것이다. 이제 [math(x:{\rm Spec}\,k'\to S)]란 geometric point를 하나 잡을 때 [math({\rm Spec}\,k'\to X\to S)]를 생각하자. 이는 대충 말하면 [math(X)]를 [math({\rm Spec}\,k')]의 subfield처럼 생각하겠단 것이다. 그렇다면 다음을 정의하자. [math(\pi_1(X,x):=\lim_{x\to X\to S} {\rm Gal}(X/S))] 여기에서 limit는 inverse limit다. 그럼 이를 '''étale fundamental group'''이라고 부르자. 먼저 간단한 예로 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]를 보자. 그러면 이것은 fintie étale cover가 자기 자신밖에 없으므로 [math(\pi_1({\rm Spec}\,\mathbb{Z},x)=0)]다. [math({\rm Spec}\,k)]를 보자. 그러면 이것은 geometric point가 자명한 [math(x:{\rm Spec}\,k^{{\rm sep}}\to {\rm Spec}\,k)] 하나밖에 없고, 그 fundamental group은 [math(\pi_1({\rm Spec}\,k,x)={\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k))] 가 된다. 이제 조금 특이한 예로 [math(k)]가 algebraically closed field일 때 [math((\mathbb{A}^1_k\setminus \{0\})/k)]를 생각해보자. 이는 [math(k)]에 가운데가 뻥 뚫린 [math(k^{\times})]같은 것이라고 볼 수 있다. 그러면 이것의 finite étale covering은 [math(x\mapsto x^n)]같은 것들이 있으며, 이런 것들밖에 없다. 0말고 다른 데 zero가 있다면 [math(\infty)] 말고도 다른 데 pole이 있어야 하니까. 그리고 이런 finite étale covering들의 Galois group은 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]고, 따라서 그 étale fundamental group은 [math(\pi_1((\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\})/k,x)=\prod_{p}\mathbb{Z}_p)] 가 된다. [math(k)]가 아무 field고, [math(X)]가 [math(k)] 위 scheme이라고 하자. 그리고 [math(x:{\rm Spec}\,k\to X)]를 아무 geometric point라고 하면 다음 exact sequence가 있다. [math(0\to \pi_1(X,x)\to \pi_1(X\times_k k^{{\rm sep}},x)\to {\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k)\to 0)] 이것은 간단히 automorphism을 [math(k^{{\rm sep}})]를 고정하는 것과 오로지 [math(k^{{\rm sep}})]만 움직이는 것으로 분해한 것이다. 그렇다면 이 exact sequence에서 맨 앞의 group을 '''arithmetic fundamental group'''이라고 하고 가운데의 group을 '''geometric fundamental group'''이라고 부른다. étale fundamental group의 중요한 점은 이것을 계산했을 때 finite étale morphism [math(f:X\to S)]를 알아낸다는 것에 있지 않고 '''[math(\ell)]-adic lisse sheaf'''를 알아낸다는 것에 있을 것이다. 먼저 평범한 Galois theory를 생각해보자. fundamental theorem of Galois theory는 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 subgroup하고 [math(k'/k)] 사이의 field 사이 대응을 만든다. 그리고 여기에서 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 subgroup을 finite [math({\rm Gal}(k'/k))]-set으로 바꾼다면 사이의 field는 다음과 같은 finite étale covering [math({\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,A\to {\rm Spec}\,k)] 를 분류해낸다. 이제 '''étale topology'''라는 것을 정의하자. 이것은 [math({\rm Sch}_X)]에 주는 topology인데, open covering을 [math(\{U_i\to U\})], [math(U_i\to U)] is étale이고 그 image들의 union이 자기 자신인 것으로 정의한다. 이것은 Zariski topology하곤 다르데 étale fundamental group하고 딱 맞는 notion이다. 그럼 이런 étale topology 위의 sheaf를 '''étale sheaf'''라고 하자. quasi-compact [math(X)] 위의 étale sheaf [math({\cal F})]가 '''constant'''라는 것은 적당한 abelian group [math(A)]가 있어서 [math({\cal F}(U)=A)] for all étale [math(U\to X)]인 것이다. 그리고 [math({\cal F})]가 '''locally constant'''라는 것은 적당한 étale open covering [math(\{U_i\to X\})]가 있어서 [math({\cal F}|_{U_i})]가 모든 [math(i)]에 대해서 constant sheaf인 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기