문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 코호몰로지의 기초 (element of cohomology) == Cohomology라는 것은 어떻게 보면, '''sheaf의 원래 모습의 단편적인 모습'''이라고 할 수 있다. 그러니까, scheme [math(X)]가 있을 때 global section들 [math(\Gamma(X,{\cal O}_X))]의 원래 모습은 [math(H^0(X,{\cal O}_X))]와 함께 [math(H^i(X,{\cal O}_X))]들을 좀 더 정교하게 모은 것이라고 생각할 수 있다. 이런 철학은 higher category theory와 stable [math(\infty)]-category로 이어지며 이 category에선 limit와 colimit의 진짜 모습을 볼 수 있다. 어쨌든, [math({\rm Sch}_X)] 위에다가 어떤 Grothendieck topology를 줬다고 해보자. 그리고 이 topology를 [math(J)]라고 하자. 그리고 [math(X)] 위의 [math(J)]-sheaf를 [math({\cal F})]라고 해보자. 그렇다면 이것이 [math(J)]-injective sheaf들로 이루어진 resolution [math(0\to {\cal F}\to {\cal I}^{\bullet})]를 가진다고 생각할 때 (잠깐 [math({\cal F}={\cal I}^0,0={\cal I}^{-1})]이라고 쓰자.) [math(H^i_J(X,{\cal F})={\rm Ker}(\Gamma(X,{\cal I}^i)\to \Gamma(X,{\cal I}^{i+1}))/{\rm Im}(\Gamma(X,{\cal I}^{i-1})\to \Gamma(X,{\cal I}^i)))] 라고 쓰자. 그러면 이것은 여러가지 성질을 만족하는데, 우리가 이것을 계산하는데 자주 쓸 것은 long exact sequence와 spectral sequence 두 개다. 먼저 topology의 성질들을 생각해보자. topology라면 위에서 말한 sheafification이 있어야 한다. 거의 모든 sheaf는 그냥 만들어지는 것이 아니고 presheaf에서 sheaf로 가는 sheafification으로 만들어지는데, 이것이 없으면 제대로 된 cohomology를 만들기 힘들다고 봐도 된다. 그리고 안타깝게도, fpqc topology엔 이런 것이 없다. flat morphism엔 아무런 크기 제한이 없기 때문에 무한정 커질 수 있고, 그래서 어떤 covering의 refinement란 개념 자체가 없기 때문이다. 그렇기 때문에 우리는 fpqc topology의 크기를 줄이는 작업을 해야 하는데, '''fppf topology'''를 [math(\{U_i\to U\})]가 open covering이란 것을 각각의 [math(U_i\to U)]가 quasi-finite and flat[* 또는 flat and finitely presented라고 해도 된다. 둘 중 어느 걸 선택해도 이론은 전혀 변하지 않는다.]이고 그 image들의 union이 자기 자신인 topology를 뜻한다고 하자. 그러면 이것은 sheafification이 존재하고, 언제나 cohomology를 정의할 수 있다. 앞으로 [math(J)]의 모든 covering은 곧 fppf covering이라고 하자. 여기에서 '''Cech cohomology'''를 생각해보자. 이는 cohomology를 local sense로 계산하는 방법으로 [math(\{U_i\to X\})]란 covering이 있을 때 [math(U_{ijk}=U_{i}\times_X U_j \times_X U_k)]라고 하면 sheaf axiom은 [math({\cal C}^{\bullet}(\{U_i\to X\},{\cal F}):\prod_{i}{\cal F}|_{U_i}\to \prod_{i,j}{\cal F}|_{U_{ij}}\to \prod_{i,j,k}{\cal F}|_{U_{ijk}}\to \cdots)] 를 resolution으로 만들고 따라서 여기에다가 global section functor를 씌우고 cohomology를 계산한 것을 [math(\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},{\cal F}))]라고 하자. [math({\cal F})]가 [math(X)] 위의 quasi-coherent sheaf일 때 [math({\cal F})]는 fppf sheaf로도 볼 수 있는데, 간단히 [math(f:U\to X)]가 flat and quasi-finite일 때 [math({\cal F}(U)=f^*{\cal F}(U))]를 생각하자. 그러면 이것은 faithfully flat descent로 sheaf가 된다. [math({\cal I})]가 injective sheaf일 때 global section functor를 씌운다는 건 injectiveness를 보존하므로 [math(\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},{\cal I})=0)] for [math(i>0)]임을 알 수 있다. 따라서 Cech cohomology는 long exact sequence가 존재한다. 더 나아가서 ordinary cohomology하고 관련을 지을 수 있는데, [math(0\to {\cal F}\to {\cal I}^{\bullet})]과 Cech complex로 double complex를 만들면 [math({\cal H}^i_J({\cal F}))]을 [math(U\mapsto H^i_J(U,{\cal F}))]인 presheaf의 sheafification으로 보면 spectral sequence [math(E^{ij}_2=H^i_J(X,{\cal H}^j_J({\cal F}))=> H^{i+j}_J(X,{\cal F}))] 가 완성된다. 이를 '''Cech-derived functor spectral sequence'''라고 한다. 이제 다음을 증명하자. > [math(X)]가 affine이고 [math({\cal F})]가 quasi-coherent일 때 [math(H^i_J(X,{\cal F})=0)] for all [math(i>0)]이다. 이는 먼저 [math(a\in H^i_J(X,{\cal F}))]일 때 적당한 covering [math(\{U_i\to X\})]이 있어서 [math(a|_{U_i}=0)]임을 증명하자. [math(0\to {\cal F}\to {\cal I}^{\bullet})]이란 resolution을 생각하고, 그러면 [math(a\in {\cal I}^i)]일 테고, exactness로 적당한 [math(\{U_i\to X\})]가 있어서 [math(a|_{U_i})]는 모두 [math({\cal I}^{i-1}\to {\cal I}^i)]의 image 안에 들고 증명이 끝난다. 이제 [math(a\in H^1_J(X,{\cal F}))]라고 하면 적당한 covering [math(\{f_i:U_i\to X\})]가 있어서 바로 위의 조건을 만족하고, 이걸 [math(\{\sqcup_i U_i\to X\})]로 바꿔 생각하자. 이는 Cech-derivec functor spectral sequence로 [math(a\in \check{H}^1_J(\{U_i\to X\},{\cal F}))]로 바꿔 생각할 수 있다. 그러면 [math(a|_{U_i}=0)]인데 여기에다가 faithfully flat descent를 생각하면 [math(a=0)]이고 따라서 [math(i=1)]일 때의 증명이 끝난다. 일반적인 경우는 induction과 위의 Cech-derivd functor spectral sequence를 쓴다. 그렇다면 [math(i [math(X)]가 separated이고 [math({\cal F})]가 quasi-coherent고 [math(\{U_i\to X\})]가 모두 affine covering일 때 [math(\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},{\cal F})=H^i_J(X,{\cal F}))] [math(i=1)]일 때는 separated나 affine covering이나 quasi-coherent같은 거 다 필요 없이 성립하고, [math(i>1)]일 때는 이 때부터 separated란 조건으로 [math(X)]를 base로 하는 affine scheme의 tensoring은 모두 affine scheme이고 quasi-coherent로 위에서 증명한 정리를 쓸 수 있으므로 Cech-derived functor spectral sequence를 쓸 수 있고 증명이 끝난다. 이는 separated란 조건 없어도 성립하지만 증명은 생략한다. 위의 결과를 이용해서 다음을 증명할 수 있다. 여기에서 [math(\text{Zar})]는 Scheme을 정의할 때 처음 주어지는 topology를 뜻한다. > [math(X)] 위의 quasi-coherent sheaf [math({\cal F})]가 있으면 [math(H^i_J(X,{\cal F})=H^i_{\text{Zar}}(X,{\cal F}))]다. 이는 그냥 [math(\{U_i\to X\})]를 affine open subscheme들로 두면 쉽게 끝난다. 이것이 뜻하는 것은 적어도 quasi-coherent sheaf에선 cohomology 계산할 때 topology는 아무 신경 쓰지 않아도 된다는 것이다. 앞으로 [math(H^i_{\text{Zar}}(X,{\cal F})=H^i(X,{\cal F}))]로 간단히 쓰기로 하고 étale topology에 대해선 [math(H^i_{\acute{e}t}(X,{\cal F}))], fppf topology에 대해선 [math(H^i_{\text{fppf}}(X,{\cal F}))]라고 쓰자. 그리고 각각 '''sheaf cohomology''', '''étale cohomology''', '''fppf cohomology'''라고 하자. 우리가 주로 볼 cohomology는 sheaf cohomology다. 다음이 성립한다. > [math(X)]가 noetherian scheme of dimension n일 때 [math(i>n)]고 [math({\cal F})]이 [math(X)] 위의 아무 scheme일 때 [math(H^i(X,{\cal F})=0)]이다. 이는 먼저 [math(X)]가 irreducible이라고 가정할 수 있고, [math({\cal F})]를 [math(\mathbb{Z})]-module로 봤을 때 direct limit를 생각하는 걸로 [math({\cal F})]를 finite개의 section으로만 generate된다고 생각할 수 있고, 거기에다가 section별로 나눠서 [math({\cal F})]가 하나의 section으로만 생성되는, 그러니까 [math(\mathbb{Z}|_{U})]라는 constant sheaf의 restriction이라고 할 수 있고, 이는 induction과 [math(\mathbb{Z})] 자기 자신은 injective module이라는 데에서 쉽게 증명된다. 점에 대해서 각각의 cohomology를 계산해보자. 점은 간단히 field만 생각해서 [math({\rm Spec}\,k)]를 생각하자. 그러면 sheaf cohomology는 open subscheme이 자기 자신밖에 없으니까 당연히 [math(H^i({\rm Spec}\,k,{\cal F})=0)] 가 되고, étale cohomology는 geometric point [math(x:{\rm Spec}\,k^{{\rm sep}}\to {\rm Spec}\,k)]를 생각하고 direct limit로 separable extension들에 대해서 [math({\cal F}_{x}=\lim_{k'/k\text{ is separable}} {\cal F}({\rm Spec}\,k'))] 라고 하면 [[갈루아 이론]]에 나오는 Galois cohomology [math(H^i_{\acute{e}t}({\rm Spec}\,k,{\cal F})=H^i({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k),{\cal F}_x))] 가 나온다. 여기에서 [math(k'/k)]라는 Galois extension에 붙어 있는 automorphism [math(\sigma)]는 [math(\sigma:{\cal F}({\rm Spec}\,k')\to {\cal F}({\rm Spec}\,k'))]로 옮겨 붙으므로 [math({\cal F}_{x})]는 [math({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k))]-module이다. 그리고 [math(k)]의 char.을 [math(p)]라고 하고 [math(\ell\ne p)]고 [math({\cal F}_x)]를 finite [math(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})]-module이라고 했을 때 [math({\cal F})]가 locally constant라는 것은 [math(M)]에 discrete topology를 줬을 때 [math({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k)\times M\to M)]이 continuous라는 것과 동치다. 이는 점 하나에 대한 inverse image가 finite index를 가져야 적당한 finite étale covering이 있어서 거기 이후론 [math({\cal F})]가 똑같아지기 때문이다. 그리고 이런 case의 étale cohomology 계산은 정수론에서 정말로 중요하다. 앞으로 [math(U\to X)]가 étale일 때 [math(\mu_n(U)=\{f\in \Gamma(U,{\cal O}_X)|f^n=1\})]로 sheaf를 정의하자. 그러면 이것은 직관적으로 nth root of unity를 모은 게 된다. 이제 한 가지 신기한 걸 보자. [math(H^1(X,{\cal O}^{\times}_X))]를 볼 텐데, 이는 rational function들의 sheaf를 [math({\cal K})]라고 쓰면 [math(0\to \Gamma(X,{\cal O}^{\times}_X)\to \Gamma(X,{\cal K})\to \Gamma(X,{\cal K}/{\cal O}^{\times}_X)\to H^1(X,{\cal O}^{\times}_X))] 를 만든다. 따라서 정의에 따라서 [math(H^1(X,{\cal O}^{\times}_X)={\rm Pic}(X))] 가 된다. 신기한 건 이런 게 sheaf cohomology뿐만 아니라 étale cohomology도 그렇다는 건데, [math(H^1_{\acute{e}t}(X,{\cal O}^{\times}_X))]의 원소들을 Cech cohomology로 나타내면 이 원소들은 local하게 0이니까 정확하게 local하게 invertible sheaf인 descent datum들이 나오고, faithfully flat descent로 이건 그냥 invetible sheaf들로 [math(H^1_{\acute{e}t}(X,{\cal O}^{\times}_{X})={\rm Pic}(X))] 가 된다. 그러면 [math(X={\rm Spec}\,k)]꼴일 때 [math(H^1({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k),(k^{{\rm sep}})^{\times})=H^1_{\acute{e}t}({\rm Spec}\,k,{\cal O}^{\times}_{{\rm Spec}\,k})=H^1({\rm Spec}\,k,{\cal O}^{\times}_{{\rm Spec}\,k})=0)] 가 되고, 이를 '''Hilbert theorem 90'''이라고 부른다. 앞으로 n이 [math(X)]의 모든 local ring들의 char.하고 서로소라고 하고 이제 [math(H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n))]를 생각해보자. 그러면 다시 Cech cohomology를 생각하면 이는 [math(X)] 위의 invertible sheaf [math({\cal L})]하고 trivilzation [math(\alpha:{\cal L}^{\otimes n}\to {\cal O})] 둘을 모은 [math(({\cal L},\alpha))]들이 된다. 그리고 이것은 finite étale covering of degree n [math(Y\to X)]들을 모은 것이 된다. [math({\cal L})]의 projective spectrum을 생각하면 되기 때문이다. 이것이 정확히 [math({\rm Pic}(X))]의 [math(n)]-torsion들인 [math({\rm Pic}(X)[n])]하고 같아지는 때를 보자. [math(k)]가 algebraically closed field고 [math(X)]가 [math(k)] 위의 smooth projective curve라고 하자. 그러면 [math({\rm Pic}^0(X))]를 [math({\rm Pic}(X))] 안에서 계수들의 합이 0인 것들을 모은 거라고 하면 [math(0\to {\rm Pic}^0(X)\to {\rm Pic}(X)\to \mathbb{Z}\to 0)] 을 생각할 수 있고, smooth면 모든 local ring이 discrete valuation ring이고 따라서 [math(n:{\rm Pic}(X)\to {\rm Pic}(X))]를 단순히 n을 곱하는 morphism이라고 하면 이것으로 위 exact sequence 밑에 또다른 exact sequence를 만들고 둘 사이에 n을 곱하는 morphism을 둘 수 있으며 snake lemma를 생각하면 [math(n:{\rm Pic}(X)\to {\rm Pic}(X))]의 kernel과 cokernel은 각각 [math({\rm Pic}^0(X)[n])]하고 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]가 된다. 이제 [math(n:{\cal O}^{\times}_X\to {\cal O}^{\times}_X)]를 생각하자. 이것은 n제곱하는 morphism인데 미분 때리면 étale morphism임을 알 수 있으며 이것의 kernel은 정확하게 [math(\mu_n)]가 된다. 따라서 이걸로 étale cohomology의 long exact sequence를 생각하면 projective한 애들은 structure sheaf의 global section이 없는 수준이란 것과 위에서 증명한 noetherian scheme of dim. 1인 애들은 cohomology가 2 이상부터 없다는 것으로 [math(k^{\times}\to k^{\times}\to H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to {\rm Pic}(X)\to {\rm Pic}(X)\to H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to 0)] 를 만들 수 있고 맨 처음 morphism은 surjection이므로 [math(H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n))]와 [math(H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n))]은 각각 [math(n:{\rm Pic}(X)\to {\rm Pic}(X))]의 kernel과 cokernel이므로 [math(H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)={\rm Pic}(X)[n],H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})] 임을 알 수 있다. 특히 [math(k)]가 char. 0고 [math(X=\mathbb{P}^1_k)]라고 한다면 [math({\rm Pic}(X)=\mathbb{Z})]이므로 [math(X\to \mathbb{P}^1_k)]인 finite étale covering은 자기 자신밖에 없음을 알 수 있다. 다음 둘은 동치가 된다. 먼저 [math(X)]가 quasi-compact라고 하자. * [math(X)]는 affine * 모든 ideal sheaf [math({\cal I}\subseteq {\cal O}_X)]에 대해서 [math(H^1(X,{\cal I})=0)] 이는 한쪽 방향은 위에서 증명했고, 다른쪽 방향은 [math(X)]를 [math(D(f))]들로 덮은 다음에 [math(f\in \Gamma(X,{\cal O}_X))]일 수 있단 걸 증명하는데 [math(x\in X)]가 closed point라고 한 다음에 [math(Z\subseteq X)]를 closed subset이라고 하고 [math(Z)]와 [math(Z\cup \{x\})]에 대응되는 ideal을 각각 [math({\cal I},{\cal I}')]라고 하면 long exact sequence로 [math(0\to \Gamma(X,{\cal I})\to \Gamma(X,{\cal I}')\to \Gamma(X,{\cal I}'/{\cal I})\to 0)] 가 만들어지고 [math(f\in \Gamma(X,{\cal I}'))]를 field [math({\cal O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}=\Gamma(X,{\cal I}'/{\cal I}))]에서 1에 대응되는 애로 골라주면 [math(x\in D(f))]고 [math(D(f))]는 affine이다. 이제 [math(X=\bigcup D(f_i))]라고 하자. 그리고 [math(f_i)]의 갯수를 [math(n)]개라고 하자. 그러면 [math(0\to {\cal F}\to {\cal O}^n_X\to {\cal O}_X\to 0)] 를 오른쪽을 [math((x_1,\cdots,x_n)\mapsto \sum_i f_i x_i)]로 정의하는 걸로 만들 수 있으며 이제 [math({\cal F}\cap {\cal O}_X \subseteq \cdots \subseteq {\cal F}\cap {\cal O}^{n-1}_X\subseteq {\cal F}={\cal F}\cap {\cal O}^n_X)] 를 생각하면 각각의 quotient는 ideal sheaf며 따라서 [math(H^1(X,{\cal F})=0)]를 얻으며 따라서 다시 long exact sequence를 생각하면 [math(\oplus_{i} \Gamma(X,{\cal O}_X)\to \Gamma(X,{\cal O}_X))] 는 surjective고 따라서 [math(f_i)]들은 global section들을 만든다. 이는 [math(f_i)]로 덮는 걸 생각하면 [math(X={\rm Spec}\,\Gamma(X,{\cal O}_X))]를 만드므로 증명이 끝난다. 이제 cohomology의 relative version을 생각해보자. [math(f:X\to S)]란 morphism이 있고 [math({\cal F})]가 [math(X)] 위 sheaf일 때 우리는 [math(R^if_*{\cal F})]를 정의할 수 있고 이를 '''higher direct image functor'''라고 한다. 이것은 [math(X,S)]가 quasi-compact고 [math(f)]가 quasi-separated일 때 [math({\cal F})]가 quasi-coherent일 때 그 higher direct image도 같이 quasi-coherent다. 증명은 [math(f)]가 affine일 때는 자명하고 affine scheme을 [math(f)]으로 뒤로 보낼 때 덮히는 affine scheme의 갯수에 따라서 induction을 쓰면 된다. 이것 다음엔 quasi-separated가 '''proper'''로 바뀌면 coherent를 coherent로 옮김을 증명할 것이다. quasi-compact and separated scheme [math(X)]가 있을 때 이것이 affine scheme으로 covering될 수 있는 최대 갯수는 [math(X)]의 (quasi-coherent sheaf만 넣었을 때의) [math(H^i(X,{\cal F})=0)] for [math(i>n)]이 되도록 하는 최소의 [math(n)]보다 크거나 같다. affine scheme [math(n)]개로 covering되면 affine scheme에선 quasi-coherent sheaf의 cohomology가 무조건 vanishing한다는 것과 Cech cohomology로 증명이 끝난다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기