문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 사영 스킴에서의 코호몰로지 (cohomology on projective schemes) == 위에서 proejctive scheme에서 coherent sheaf를 분류할 때, coherent sheaf는 사실 Serre twisting sheaf들을 더한 것의 quotient라는 사실을 알았다. 그리고 이런 사실에서 알 수 있는 중요한 사실은 바로 이것이다. > [math(X)]가 field [math(k)] 위의 projective scheme이고 [math({\cal F})]가 [math(X)] 위의 coherent sheaf일 때 [math(H^0(X,{\cal F})=\Gamma(X,{\cal F}))]는 finite-dimensional [math(k)]-vector space다.[* 편의상 [math(k)]를 field로 잡을 거지만, 한동안은 이걸 그냥 Noetherian ring이라고 해도 된다.] 그러면 자연스럽게 드는 물음은, higher cohomology도 finiteness를 만족하는지에 대한 것이다. 그리고 이는 아주 자연스럽게 된다. 생각해보면, projective scheme은 그냥 affine scheme에서 global section을 확 줄이기 위해서 무한대에서도 제대로 행동해주길 바라는 scheme이다. 이렇게 global section을 확 줄이면 우리는 sheaf를 그 cohomology로 대응시키는 것으로 finite란 조건이 있으니까 선형대수에서 했던 정말로 많은 여러가지 성질들을 다시 증명할 수 있게 된다. 그러니까 cohomology theory over projective scheme은 선형대수의 일반화고 선형대수란 건 사실 [math(X={\rm Spec}\,k)]라고 둘 때의 cohomology theory over projective scheme에 불과하다. 따라서, projective space [math(\mathbb{P}^n_{k})]의 cohomology를 계산해보자. 여기에서 [math(S=k[x_1,\cdots,x_n])]라고 하고 [math({\cal O}_X(r)={\cal O}_X(1)^{\otimes r})]이라고 하자. * [math(S\to \bigoplus_{r\ge 0}H^0(\mathbb{P}^n_{k},{\cal O}_X(r)))]는 isomorphisms of graded [math(S)]-module이다. * [math(H^i(\mathbb{P}^n_{k},{\cal O}_X(r))=0)] for all [math(0i>n)]라면 [math(H^i(X,{\cal F})=0)]가 된다. * [math({\cal F}(d)={\cal F}\otimes {\cal O}_X(d))]라고 정의하자. 그러면 [math(d)]가 충분히 크면 [math(H^i(X,{\cal F}(d))=0)] for [math(i>0)]이다. * '''(Important)''' [math(H^i(X,{\cal F}))]는 언제나 finite-dimensional [math(k)]-vector space다. 이것의 증명은 모든 projective scheme은 그 정의로 projective space의 closed subscheme이니까 pullback을 생각하면 [math(\mathbb{P}^n_k)]에서만 증명하면 되고, 세 번째부터 증명하면 induction을 써서 [math(i=0)]일 땐 위에서 했고, [math(i=k)]일 때 성립하면 [math(i=k+1)]일 땐 projective space에서의 coherent sheaf의 분류를 써서 [math(0\to {\cal G}\to \prod_{i}{\cal O}(d_i)\to {\cal F}\to 0)] 에다가 long exact sequence를 쓰면 위에서 계산 생략한 성질로 증명이 끝난다. 두번째 역시 induction으로 쉽게 증명되는데, 이번엔 위의 exact sequence에 첫번째하고 가운데가 [math(i=k)]에서 0이 되도록 [math(d)]를 잡아서 tensoring하고 cohomology를 씌우면 첫 번째로 유한개의 [math(d)]만 생각하면 되므로 된다. 첫 번째는 이미 위에서 다 했다. 위에서 affine scheme하고 cohomology의 vanishing property에 대해서 한 적이 있는데, affine scheme을 structure sheaf 중심으로 보고 structure sheaf를 ample line bundle로 바꾸면 거의 똑같은 정리가 성립한다. 그러니까, 다음 셋은 동치다. [math(X)]가 [math(k)] 위에서 projective scheme이라고 하고 [math({\cal L})]은 [math(X)] 위의 invertible sheaf라고 하자. * [math({\cal L})]는 ample line bundle이다. * [math(X)] 위의 모든 coherent sheaf [math({\cal F})]에 대해서 [math({\cal F})]에 의존하는 [math(d)]가 언제나 있어서 [math(H^i(X,{\cal F}\otimes {\cal L}^{\otimes d})=0)] for all [math(i>0)]이 된다. * [math(X)]의 coherent ideal sheaf [math({\cal I}\subseteq {\cal O}_X)]에 대해서 적당한 [math(d)]가 있어서 [math(H^i(X,{\cal I}\otimes {\cal L}^{\otimes d})=0)] for [math(i>0)]이다. 여기에서 [math({\cal L}^{\otimes d})]는 [math({\cal L})]를 [math(d)]번 tensoring한 것이다. 먼저 첫 번째에서 두 번째로 가는 건 적당한 [math(k)]하고 [math(i:X\to \mathbb{P}^n)]이 있어서 [math(i^*{\cal O}_{\mathbb{P}^n}(1)={\cal L}^n)]이므로 쉽게 증명되고, 두번째에서 세 번째로 가는 건 자명하고, 세 번째에서 첫 번째로 가는 건 위에서 affine scheme에 대해서 했던 걸 배끼면 된다. 마지막으로, [math(f:X\to Y)]가 proper일 때, [math(R^if_*{\cal F})]은 [math({\cal F})]이 coherent면 반드시 똑같이 coherent가 된다. 이는 projective일 땐 stalk마다 계산하면 되고 proper에 대해선 Chow's lemma를 쓴다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기