문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 세르 쌍대성 (Serre duality) == 가장 먼저, 다음 정의와 정리를 보고 시작하자. > [math(A)]가 local ring이라고 하고 그 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하자. 그러면 [math(\mathfrak{m})]의 원소들의 수열 [math((a_1,\cdots,a_n))]가 '''regular sequence'''라는 것은 [math(a_1\in \mathfrak{m})]가 nonzero divisor고 [math(a_{i+1}\in \mathfrak{m})]은 [math(A/(a_1,\cdots,a_i))]에서 nonzero divisor일 땔 말한다. > [math((a_1,\cdots,a_n))]이 [math(A)]의 regular sequence라고 하자. 그러면 [math(A)]-module로서의 [math(A/(a_1,\cdots,a_n))]의 projective resolution의 최소 길이는 [math(n)]이다. > '''(Rees)''' [math(A)]가 local ring이고 그 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하자. 그러면 [math(A)]의 regular sequence의 최대 길이는 [math({\rm Ext}^i_{A}(A/\mathfrak{m},A))]이 0이 아닌 최소의 [math(i>0)]과 같다. > [math(A)]의 Krull dimension이 유한하다면, [math(A)]를 [math(A)]-module로 봤을 때의 최소 injective resolution 길이는 반드시 [math(A)]의 Krull dimension보다 크거나 같다. 이것들은 모두 재미있는 연습 문제들이니 풀어보기 바란다. Hint는 첫 번째는 [math(n)]에 대한 induction을 생각하면 거의 자명하고, 두 번째는 저 Ext functor가 vanishing하지 않는 최소의 [math(i)]는 그냥 [math(A/\mathfrak{m})]의 projective resolution의 최소 길이고, 세 번째는 [[http://www.ams.org/journals/tran/1962-102-01/S0002-9947-1962-0138644-8/S0002-9947-1962-0138644-8.pdf|이 논문]] 참고. 우리는 잠시 대수기하에서 내려와 가환대수를 해보자. > '''Definition.''' Krull dimension이 [math(n)]인 Noetherian local ring [math(A)]가 '''Gorenstein local ring'''이란 것은 [math({\rm Ext}^i_A(A/\mathfrak{m},A))]가 [math(i=n)]이면 [math(A/\mathfrak{m})]이고 나머지에선 [math(0)]인 ring을 말한다. 이것은 [math(A)]가 finite length를 가질 때, 그러니까 [math(k)]를 residue field로 하는 Artinian local ring일 때 [math({\rm Hom}(k,A))]가 1-dimensional [math(k)]-vector space라는 것과 동치다. 그러니까 [math(A)] 위에선 '''duality'''에 대한 theory가 있다고 봐도 될 것이다. [math(k)] 위의 f.d. vector space에서 [math(A)]를 중심으로 한 duality가 있단 것이다. 모든 field는 당연히 Gorenstein local ring이고 모든 regular local ring도 Gorenstein local ring이다. 따라서 대충 우리가 알고 있는 대부분의 ring은 Gorenstein이라고 생각할 수 있을 것이다. 다음 동치명제들을 증명하자. * [math(A)]는 Gorenstein of dim. [math(n)]이다. * [math(A)]에 적당한 regular sequence [math((a_1,\cdots,a_n))]이 있어서 [math(A/(a_1,\cdots,a_n))]는 Gorenstein of dim. 0이다. * [math(A)]는 길이가 유한인 injective resolution을 갖는다. 먼저 첫 번째하고 두 번째가 동치란 건 거의 자명하다. 그러면 첫 번째하고 세 번째가 동치임을 증명하자면, 먼저 residue field를 [math(k)]라고 하고 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하고 finite [math(A)]-module [math(M)]을 생각하자. 그러면 당연히 [math({\rm Ext}^i_{A}(M/\mathfrak{m}M,A)=0)] for [math(i>n)]가 되고, Krull dimension에 대한 induction을 쓰기 위해 nonzero divisor [math(x\in \mathfrak{m})]을 잡고 Krull dimension [math(1)]라고 가정하면 [math(0\to M\to M\to M/(x)M\to 0)] 을 만들 수 있고, [math(M/(x)M)]는 finite dimensional [math(k)]-vector space니까 Ext functor가 [math(i>n)]에서 펑 터지고 따라서 저 셋의 injective resolution을 잡고 naturality를 생각하면 [math(x{\rm Ext}^i_A(M,A)={\rm Ext}^i_A(M,A))] 가 된다. 따라서 induction과 Nakayama lemma로 [math({\rm Ext}^i_A(M,A)=0)]이고 [math(A)]의 injective resolution은 길이가 딱 [math(n)]이 된다. 반대쪽은 그 길이를 [math(\ell)]이라고 하면 [math(0\to A\to I^{\bullet})] 란 injective resolution을 잡고 Hom functor를 씌우면 [math(0\to {\rm Hom}_A(k,A)\to {\rm Hom}_A(k,I^{\bullet}))] 가 되고, 이것들 모두 finite dimension [math(k)]-vector space라는 걸 생각하면 어쨌든 끝부분인 [math({\rm Ext}^{\ell}_A(k,A))]는 살아 있게 되고, regular sequence를 생각하면 artinian local ring은 Ext functor가 존재할 수 없으므로 [math(\ell=n)]이 된다. 그리고 같은 논리로 이것이 [math(k)]임도 계산할 수 있다. 그러면 이제 [math(0저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기