문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 층 (sheaves) == 먼저 scheme을 정의하기 전에 층(sheaf, 복수형은 sheaves)을 정의하자. 여기에서 [math(\cal C)]를 데카르트 곱(cartesian product)이 있는 아무 category라고 하자. 예를 들면 [math({\cal C}={\rm Set},{\rm Ab},{\rm Ring})]같이. '''Definition.''' 위상공간(topological space) [math(X)]에 대해서 함자(functor) [math( {\cal F}:{\rm Open}(X)^{{\rm op}}\to {\cal C})]를 [math(X)]의 '''presheaf'''라고 하자. 여기에서 [math({\rm Open}(X))]는 object를 [math(X)]의 열린 집합(open set)으로, morphism을 [math(\subseteq)]로 가지는 범주([[Category]])라고 하자. 그러면 이는 [math(U\times_X V=U\cap V)]가 성립한다. Presheaf란 건 각 공간에서 포함관계가 제대로 맞다면 별 거 아니다. 그냥 [math(X)]의 각 열린집합(open set)마다 [math(\cal C)]의 object를 하나씩 준 것에 불과하다. 여기서 [math(\rm op)]를 뺀다면 이를 precosheaf라고 한다. Presheaf의 예를 들면 [math(X=\mathbb{R})]라고 할 때 [math({\cal F}(U)=\{\text{Ring of bounded functions on }U\})]라고 하자. 그렇다면 [math(V\subseteq U)]라면 [math({\cal F}(U)\subseteq {\cal F}(V))]가 되므로 이는 presheaf가 된다. 그렇다면 층(sheaf)은 뭘까? 우리의 직관대로라면 열린집합(open set)의 연산대로 거기에 딸린 object들도 거기에 맞춰서 행동하도록 만들고 싶다면 [math(U\cap V=\varnothing)]이라고 두자. 만약 이렇게 [math({\cal F}(U \cup V)={\cal F}(U)\times {\cal F}(V))] 직관적으로 [math(X=\mathbb{R})]이라고 한다면 [math(U\cup V)] 위의 함수들은 [math(U)] 위의 함수들과 [math(V)] 위의 함수들로 분리되는 걸 직관적으로 알 수 있지 않는가? 우리는 [math(X)]의 덮개 공간(covering space) [math(\{U_i\})]를 생각해보자. 그렇다면 [math({\cal F}(X))]의 정보는 [math({\cal F}(U_i))]들의 정보에 의해서 결정되어야 한다. 예를 들면 [math(\rho_{U_i\to X}(f)=f|_{U_i})]를 [math(U_i\to X)]에 대응되는 사상(morphism) [math({\cal F}(X)\to {\cal F}(U_i))]라고 하면 '''Axiom 1''' [math(f\in {\cal F}(X))]가 [math(0)]일 필요충분조건은 [math(f|_{U_i}\in {\cal F}(U_i)=0)]인 것이다. 그리고 다음 조건도 추가 해보면 '''Axiom 2''' [math(f_i\in {\cal F}(U_i))]들이 있을 때 [math(f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j})]라면 적당한 [math(f\in {\cal F}(X))]가 있어서 [math(f|_{U_i}=f_i)]가 된다. 또 Axiom 2의 [math(f)]는 axiom 1에 의해서 유일성이 보장된다. 그리고 이 두 가지를 만족하는 [math({\cal F})]를 '''sheaf'''라고 하자. 그리고 두 axiom을 모아서 '''local-global compatibility'''라고 한다. 그러니까 sheaf는 local property가 global property를 결정하는 무언가다. 그렇다면 presheaf로 sheaf를 만들 수 있을까? 그러니까 presheaf는 local property와 global property를 모두 가지는데, 문제는 global property하고 local property가 완전히 따로 논다는 것이다. 그래서 쓸데없는 global property를 깔끔히 버리고 local property로 global property를 다시 만드는 것이다. 이런 작업을 '''sheafification'''이라고 부른다. 우리는 다음과 같은 notation을 만들자. '''Notation''' Presheaf 사이 morphism (그냥 natural transformation이다.) [math({\cal F}\to {\cal G})]가 있다고 하자. 그렇다면 이것이 '''isomorphism of locallity'''라는 것은 적당한 [math(X)]의 covering [math(\{U_i\})]가 있어서 각 [math(i)]마다 [math(V\subseteq U_i)]가 있다면 이걸로 induce되는 [math({\cal F}(V)\to {\cal G}(V))]가 isomorphism인 것이다. 이제 [math(X)]의 모든 presheaf들의 category를 [math({\rm PSh}_{{\cal C}}(X))]라고 하자. 여기에서 morphism은 natural transformation이다. 그렇다면 모든 isomorphism of locallity들의 class에 대해서 이 category를 localize한 것을 바로 '''category of sheaves'''라고 하고 [math({\rm Sh}_{{\cal C}}(X))]라고 쓴다. (여기서 어떤 category를 그것의 어떤 morphism들의 class에 대해 localize한다는 것은, 그 category에 이 morphism들의 inverse들을 추가하여 이들을 isomorphism들로 만드는 것이다.) 그리고 이것은 신기하게도 그냥 sheaf들을 모은 것들의 category와 equivalent하다!! 여기에서 set-theoretic issue가 발생하는데, 바로 isomorphism of locality가 set이 아니라면 category of sheaves는 locally small category가 될 수 없고 이는 많이 심각한 문제다. 이를 우리는 [math(\cal C)]를 언제나 small이라고 가정하고 inaccessible cardinal의 존재를 가정하는 것으로 해결할 것이다. inaccessible cardinal의 존재성이 ZFC로 증명될 수 있다면 이 cardinal에 대한 Von Neumann universe를 ZFC의 model로 만드므로 ZFC가 consistent하게 만들고 이는 [[불완전성 정리|Gödel incompleteness theorem]]때문에 저 cardinal의 존재성은 ZFC와 독립일 수밖에 없다. 따라서 이 cardinal의 존재성을 가정하는 것이 껄끄러울 수 있는데, 그냥 우리는 ZFC에다가 저 cardinal의 존재성을 가정한 새로운 공리계를 받아들이자. (...) 그러면 모든 category의 object들을 모은 것의 크기가 inaccessible cardinal보다 작단 가정으로 우리는 (아마도 집합론을 제외한) 우리의 수학을 잘 할 수 있다. 그렇다면 당연히 [math({\rm Sh}_{{\cal C}}(X)\longrightarrow {\rm PSh}_{{\cal C}}(X))]라는 functor가 있을 것이다. 그럼 이건 left adjoint가 존재하고 이를 sheafification이라고 부른다. 여기선 Hartshorne의 notation을 따라서 [math({\cal F}^a)]라고 쓰자. 그렇다면 한 가지 예제를 보자. [math({\rm exp})]를 복소지수함수라고 하고 [math({\cal O})]를 holomorphic function들, [math({\cal A}(U)=\{e^f|f:U\to \mathbb{C}\text{ is a holomorphic function }\})]이라고 정의하자. 그렇다면 다음과 같은 exact sequece가 존재한다. [math( 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow {\cal O}\longrightarrow_{{\rm exp}}{\cal A}\to 0 )] 여기에서 [math(2\pi i \mathbb{Z})]는 모든 open set에 대해서 [math(2\pi i \mathbb{Z})]란 값을 내놓는 constant sheaf다. 이제 [math({\cal O})]는 sheaf다. 바로 analytic continuation에 의해서. 하지만 문제가 있는데, 바로 [math({\cal A})]가 sheaf가 아니다!! 그 이유는 로그함수에 있는데, branch cut만 잘 잡으면 [math(0)]을 포함하지 않는 simply connected domain은 모두 로그함수를 정의할 수 있지만 문제는 로그함수가 [math(\mathbb{C}\setminus \{0\})]에서 holomorphic이 아니다. 한 바퀴 삥 돌리면 [math(2\pi i )]만큼 차이나니까. 그러면 어떻게 할까?? 바로 sheafification을 생각하는 것이다!! sheafification은 right adjoint를 가지니까 exact sequence를 보존하고 [math({\cal A})]의 sheafification은 local하게만 보면 disk 안의 모든 nonzero holomorphic function은 로그를 씌울 수 있으니까 [math({\cal A}^a(U)={\cal O}^*(U)=\{f:U\to \mathbb{C}|f\text{ is a nonvanishing function }\})] 이 된다. 따라서 이렇게이렇게 [math(0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow {\cal O}\longrightarrow {\cal O}^*\to 0)] 잘 exact sequence를 만들 수 있다. 그렇다면 여기에서 바로 다음이 derive될 것 같다. [math( 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow {\cal O}(\mathbb{C}\setminus \{0\})\longrightarrow {\cal O}^*({\cal C}\setminus \{0\})\to 0)] 먼저 첫번째 injection 부분과 가운데는 맞다. 그런데 마지막 surjection부분은 틀렸다. (!!) 이유는 sheafification을 하는 과정에서 이상한 function이 만들어지기 때문이다. 바로 [math(f(z)=z)]같은. 이게 이상한 함수라는 건 뭔가 이상하지만 어쨌든 여기에선 이상한 함수 맞다. 그렇게, 우리는 다음 functor를 정의할 수 있다. [math(\Gamma(X,-):{\rm Sh}_{{\cal C}}(X)\to {\cal C})] [math(\Gamma(X,{\cal F})={\cal F}(X))] 그렇다면 이것은 exact functor가 아니고, sheaf cohomology를 만드는 동력이 된다. stalk를 정의하자. [math({\cal F})]가 sheaf라면 [math({\cal F}_x=\lim_{x\in U}{\cal F}(U))] 여기에서 lim이라고 쓴 것은 colimit고 [math(x\in X)]다. 이는 [math(x)]에서의 local structure를 알려준다. [math(U\subseteq X)]가 open set이고 [math({\cal F})]가 [math(X)]의 sheaf일 때 [math({\cal F}|_{U})]를 [math({\cal F}|_{U}(V)={\cal F}(U\cap V))] 라고 정의하자. 그러면 이것도 sheaf다. 연속함수 [math(f:X\to Y)]가 있고 [math({\cal F})]가 [math(X)]의 sheaf, [math({\cal G})]가 [math(Y)]의 sheaf일 때 다음 둘을 정의하자. [math(f_*{\cal F}(U)={\cal F}(f^{-1}(U))(U\subseteq Y), f_*{\cal F}\in {\rm Ob}({\rm Sh}_{{\cal C}}(Y)))] [math(f^*{\cal G}(U)=\lim_{V\subseteq f(U)}{\cal G}(V)(U\subseteq X), f^*{\cal G}\in {\rm Ob}({\rm Sh}_{{\cal C}}(X)))] 이 둘을 각각 direct image functor, inverse image functor라고 부르며, 모두 [math(f_*:{\rm Sh}_{{\cal C}}(X)\to {\rm Sh}_{{\cal C}}(Y))], [math(f^*:{\rm Sh}_{{\cal C}}(Y)\to {\rm Sh}_{{\cal C}}(X))]란 functor며 각각은 각각에 대해서 adjoint functor다. [math({\cal F}(U))]의 원소를 [math(U)]에서의 [math({\cal F})]의 section이라고 부른다. 그리고 [math(U=X)]일 때는 global section이라고 부른다. 이제 Grothendieck topology를 설명하겠다. Grothendieck topology란 topology의 일반화라고 생각하면 된다. [math(\cal C)]이 finite limit를 가지는 category고, [math(X\in {\rm ob}({\cal C}))]라고 하자. 그러면 각 [math(X)]들에 대한 covering의 공리계를 다음과 같이 설정하자. * [math(\{Y\to X\})]와 같은 isomorphism은 covering이다. * [math(\{U_i\to X\})]가 covering이고 [math(Y\to X)]가 있다면 [math(U_i\times_X Y\to Y)] 역시 covering이다. * [math(\{U_i\to X\})]가 covering이고 [math(\{U_{ij}\to U_i\})]도 각 [math(i)]에 대해서 covering이라면 [math(\{U_{ij}\to X\})]도 covering이다. covering은 각 [math(X)]들에 대해서 잡을 수 있고, 이 system 자체를 [math(J)]라고 쓰면 [math(J)]를 '''Grothendieck topology'''라고 하고 [math(({\cal C},J))]를 '''site'''라고 한다. Grothendieck topology에서 첫번째 조건은 자기 자신도 open set이란 조건, 두번째 조건은 finite intersection도 open set이란 조건, 세번째 조건은 arbitrary union도 open set이란 조건으로 생각할 수 있다. 가장 간단한 site의 예로 [math({\rm Open}(X))]가 있는데, 이 땐 [math(U)]의 covering을 그냥 모두 union하면 [math(U)]가 되는 [math(U)]의 open subset들 [math(\{U_i\to U\})]로 생각한다. 그렇다면, [math(({\cal C},J))]가 site라면 여기 위의 '''sheaf'''를 정의할 수 있다. [math({\cal F}:{\cal C}^{{\rm op}}\to {\rm D})]라는 functor가 있다면 이를 [math(({\cal C},J))]의 '''presheaf'''라고 하고 이것이 '''sheaf'''란 것은 다음 두 가지를 만족할 때를 말한다. * covering [math(\{U_i\to U\})]가 있고 [math(f\in {\cal F}(U))]가 모든 [math(i)]에 대해서 [math(f|_{U_i}=0)]일 때 [math(f=0)]이다. * covering [math(\{U_i\to U\})]에 대해서 [math(f_i\in {\cal F}(U_i))]들이 [math(f_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\times_X U_j})]를 만족한다면 적당한 [math(f\in {\cal F}(U))]가 있어서 [math(f|_{U_i}=f_i)]가 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기