문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스킴(대수기하학) (문단 편집) == 층의 더 많은 성질들 (more on sheaves) == 우리는 locally free sheaf를 정의할 텐데 [math( X)]가 scheme이고 [math({\cal F})]가 그 위의 coherent sheaf라고 하자. 그러면 [math({\cal F})]가 locally free sheaf라는 건 모든 open subscheme [math(U\subseteq X)]에 대해서 [math( {\cal F}(U))]가 free [math({\cal O}_X(U))]-module인 것이다. 그리고 적당한 open covering이 있어서 거기에서 rank가 모두 1이면 그 sheaf를 invertible sheaf라고 부른다. invertible sheaf란 말은 정말로 invert할 수 있다는 뜻으로 나왔다. tensor product of sheaves는 자명하게 정의할 수 있고, [math({\cal L})]가 [math(X)] 위의 invertible sheaf라고 하자. 그러면 적당한 open subscheme들의 covering [math(\{U_i\})]가 있어서 [math({\cal L}(U_i)=(f_i))]가 되는데, 간단히 [math({\cal L}^{-1}(U_i)=\left(\frac{1}{f_i}\right))]를 준비하자. 이렇게 invertible sheaves는 tensor product로 group을 이루며 이를 Picard group이라고 하고 [math({\rm Pic}(X))]라고 쓴다. 먼저 locally free sheaf가 affine scheme에서 무엇에 대응되는지 생각해보자. [math(X={\rm Spec}\,A)]라고 한 뒤에 여기 위의 locally free sheaf [math({\cal F})]를 생각하자. 그렇다면 [math(M=\Gamma(X,{\cal F}))]를 생각하는데 locally free란 조건으로 모든 [math(\mathfrak{p})]에 대해서 [math(M_{\mathfrak{p}})]는 free고 따라서 적당한 free module [math(F)] over [math(A)]와 morphism [math(F\to M)]가 있다고 해보자. 그러면 이것은 [math(\mathfrak{p})]로 loca두izing시키면 split하고 우리는 따라서 [math(F\to M)]을 합성하는 [math({\rm Hom}(M,F)\to {\rm Hom}(M,M))] 의 image가 identity를 포함함을 증명해야 하는데 이것 역시 localizing하면 free란 조건때문에 그 cokernel이 localizing하면 freeness로 인한 split함으로 0이 되고 따라서 [math(M)]가 free가 된다. 반대로 [math(M)]가 projective면 local ring 위의 f.g. projective module은 basis 잡고 free module 잡고 split하게 해주면 [math(A_{\mathfrak{p}}^n=M\oplus \mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}^n)]로 Nakayama lemma를 쓰면 free가 되고 따라서 다음 대응이 생긴다. [math(\{\text{locally free sheaves over }X={\rm Spec}\,A\}\longleftrightarrow \{\text{projective modules over }A\})] 우리는 [math(K)]가 number field일 때 이것의 ring of integers [math({\cal O}_K)]를 생각해보자. 그러면 [math({\rm Spec}\,{\cal O}_K)]의 invertible sheaf를 생각하자. 이것은 local하게 rank가 1이며 각각의 prime ideal들을 생각하고 [math({\cal O}_K)]가 Dedekind domain임을 생각하면 [math({\rm Pic}({\rm Spec}\,{\cal O}_K)={\rm Cl}_K)] 로, 그러니까 ideal class group이 된다. 이제 우리는 projective line [math(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})]위에 있는 structure sheaf의 global section functor를 생각하자. 그러면 point at infinity를 빼고 생각하면 global section functor에 들 수 있는 function들이 [math(\mathbb{C}[x])]가 되는데, 이것들은 상수 빼고는 모두 point at infinity에서 제대로 정의되지 않으므로 [math(\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},{\cal O}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}})=\mathbb{C})] 가 된다. projective line엔 invertible sheaf가 이런 것만 있는 게 아니다. 우리는 [math(\mathbb{C}[x,y])]에다가 graded module을 하나 줄 건데 간단히 degree를 한 칸씩 옮긴 [math(M=\mathbb{C}[x,y])]를 생각할 것이다. 이는 상수 term은 degree 1이고 1차항은 degree 2다. 그러면 이것에 대응되는 sheaf를 [math({\cal O}(1))]이라고 하고 이를 '''Serre twisting sheaf'''라고 부를 것이다. 그러면 이것도 point at infinity를 빼고 생각하면 PID 위의 projective module은 [math({\cal O}(1)(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\setminus \{\infty\})=\mathbb{C}[t])]로 똑같고 이것으로 Serre twisting sheaf가 invertible sheaf라는 것도 알 수 있다. 하지만 무한대점에서 이번엔 일차항까지 허용하고 따라서 [math(\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},{\cal O}(1))=\{ax+by|a,b\in \mathbb{C}\})] 가 된다. Serre twisting sheaf를 이번엔 [math(\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}})]에 대해서 구체적으로 쓰면 다음과 같이 된다. [math({\cal O}(m)(U)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x_0,\cdots,x_n],f,g\text{ are homogenous and }{\rm deg}(f)={\rm deg}(g)+m,g(a_0,\cdots,a_n)\ne 0 \text{ for }(a_0,\cdots,a_n)\in \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\right\})] 그렇다면 중복조합 세듯이 해주면 [math(m\ge 0)]일 때 [math({\rm dim}\,\Gamma(\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}},{\cal O}(m))={{m+n}\choose{n}})] 우리는 이제 Weil divisor란 개념을 소개하자. field [math(k)] 위의 [math(X)]가 normal finite type scheme일 때 [math(X)]는 Hilbert basis theorem으로 noetherian이고 [math(X)] 위의 codimension 1 subscheme들 [math(Z_i)]이 있으면 [math( \sum n_i [Z_i])] 를 Weil divisor라고 하자. 그리고 open set [math(U)]에 대해서 [math({\cal O}_{X}(U))]의 field of fraction을 [math(K_{X}(U))]라고 할 때 [math(U\mapsto K^*_{X}(U))]란 presheaf를 생각할 수 있고 이것의 sheafification의 global section을 rational function이라고 부르자. 그리고 우리는 [math(f|_{x}\in {\cal K}_{X,x})]를 생각하는데 이 때 noetherian이란 조건과 codimension 1이란 조건, integrally closed란 조건으로 [math({\cal O}_{X,x})]는 discrete valuation ring이 되고 따라서 [math(f|_x)]의 degree를 잴 수 있고, 이 degree를 [math(\nu_{\bar{\{x\}}}(f))]라고 쓰자. 그리고 두 Weil divisor [math(D,D')]가 있을 때 [math(D\sim D')]를 적당한 rational function [math(f)]가 있어서 [math(D-D'={\rm deg}(f)=\sum_{Z\subseteq X} \nu_{Z}(f)[Z])] 인 것을 말한다. 여기에서 우변은 유한합이다. 그리고 이런 Weil divisor들로 만든 group을 [math({\rm Cl}(X))]라고 쓰자. 그러면 [math( \sum_{i} n_i[Z_i]\mapsto \sum_i n_i)] 는 다음과 같은 map [math({\rm deg}:{\rm Cl}(X)\to \mathbb{Z})]를 만들 수 있다. [math(X)]가 locally factorial이란 것을 적당한 open affine covering이 있어서 그 곳에서 ring들이 UFD인 것을 말한다. 그러면 invertible sheaf를 생각하면 작은 open subscheme에서의 section은 인수분해 될 수 있고, 따라서 다음이 성립한다. [math({\rm Pic}(X)\cong {\rm Cl}(X))] 그러면 [math(k)]를 field라고 하고 [math(X=\mathbb{P}^n_{k})]라고 하고 [math({\cal L})]을 invertible sheaf라고 하고 이것에 대응되는 Weil divisor를 [math(D=\sum_i n_i[Z_i])]라고 하자. 그러면 먼저 rational function이 어떻게 생겼는지 확인해보자. rational function은 먼저 [math({\rm Frac}k[x_0,\cdots,x_n])]의 원소고, 분자분모가 모두 homogenous function이고 무한대에서 발산하면 안 되니까 분자의 degree가 분모의 degree보다 작고 그렇다고 분모가 더 크면 그 inverse가 없으므로 분자분모는 같은 degree를 가진다. 그리고 [math({\rm deg}\,D=0)]이라면 각각의 closed subscheme의 maximal ideal의 generator들을 [math(\{f_i\})]라고 한다면 [math(f=\prod f^{n_i}_i)]를 생각할 수 있고, 그러면 [math(D={\rm deg}\,(f))]가 되고 Serre twisting sheaf들이 있으므로 [math({\rm Pic}(X)={\rm Cl}(X)=\mathbb{Z})] 가 된다. 우리는 sheaf들을 보면서 global section이 매우 빈약한 sheaf를 보았고 global section이 많은 sheaf를 보았는데 이제 global section이 많은 sheaf를 보자. 이런 sheaf는 global section으로부터 stalk의 basis를 만드는데, 예를 들면 [math(\mathbb{P}^n_k)]에서 [math({\cal O}(1))]같은 애들. 이제 우리는 [math(X)]를 위 divisor 할 때랑 똑같은 조건으로 두고 [math({\cal L})]를 line bundle이라고 하고 [math(\Gamma(X,{\cal L}))]를 생각할 건데, 이것의 basis를 [math(f_1,\cdots,f_m)]이라고 하면 모든 [math(X)]의 point의 stalk를 [math(f_1,\cdots,f_m)]가 generate한다면 [math({\cal L})]을 '''very ample bundle'''이라고 하자. 그러면 [math({\cal L})]가 very ample line bundle이라면 [math(i:X\to \mathbb{P}^{m-1}_k,x\mapsto (f_1(x):f_2(x):\cdots:f_m(x)))] 라는 immersion을 만들 수 있고, [math({\cal L}=i^*{\cal O}(1))]가 된다. 우리는 [math(X\to \mathbb{P}^n_k)]라는 closed immersion이 존재하는 scheme을 projective scheme이라고 하자. 그러면 projective scheme엔 반드시 very ample line bundle이 존재하게 되고, 이는 많이 중요하다. [math({\cal L})]가 [math(X)]의 very ample line bundle이고 [math({\cal F})]가 아무 coherent sheaf면 적당한 [math(n)]이 있어서 [math({\cal F}\otimes_{{\cal O}_X}{\cal L}^n)]는 모든 stalk가 global section에서 나오기 때문이다. 그러니까 sheaf를 아주 다루기 편하게 해주는 도구가 된다. 이제 [math({\cal L})]이 invertible sheaf일 때 graded ring [math(\Gamma_*(X,{\cal L}))]를 생각해보자. 이는 [math(\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n}))]를 nth grade라고 생각하고 [math(\Gamma_*(X,{\cal L})=\oplus_{n\ge 0}\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n}))] 를 생각한 것이다. 이는 원래 invertible sheaf엔 곱셈이 없지만 억지로 곱셈을 추가한 것으로 볼 수 있다. 그러면 원래부터 곱셈이 있었던 [math({\cal O}_X)]는 그냥 [math(\Gamma(X,{\cal O}_X)=\Gamma_*(X,{\cal O}_X)[x])]로 생각할 수 있다. 그리고 특히 [math({\cal L})]이 very ample이면 이것의 global section은 [math(X)]의 모든 local section을 만들기에 [math(X)]의 affine open covering을 하나 잡고 [math(\Gamma_*)]쪽의 localization을 비교하면 다음과 같은 open immersion이 있을 수 있다. [math(X\to {\rm Proj}\,\Gamma_*(X,{\cal L}))] 이제 [math(X)]가 scheme이고 [math({\cal L})]가 [math(X)] 위 invertible sheaf일 때 이것이 '''ample''' line bundle이란 것은 적당한 [math(n)]가 있어서 [math({\cal L}^{\otimes n})]가 very ample이란 것이다. 이것은 very ample line bundle만큼이나 중요한데, 어차피 몇 번 tensoring하는 것으로 very ample인 것처럼 다룰 수 있기 때문이다. 예를 들어서 [math(X)]가 affine scheme일 때 그 structure sheaf는 자명하게 very ample이고 따라서 ample이다. 그리고 projective space [math(\mathbb{P}^n_k)]의 Serre twisting sheaf [math({\cal O}(1))]도 언제나 very ample이고 ample이다. [math(X)]가 '''quasi-affine'''이란 것을 [math(X)]가 어떤 affine scheme의 open subscheme일 때를 말한다. 당연히 이는 affine이 아닐 수도 있다. 하지만 [math({\cal O}_X)]는 [math(X)]를 여전히 만드는데, [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 다음과 같은 map들로 쪼갤 수 있다. [math(X\to {\rm Spec}\,\Gamma(X,{\cal O}_X)\to {\rm Spec}\,A)] 여기에서 오른쪽은 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]로 만들어지는 sheaf 사이 morphism으로 만들어지는 것이고 왼쪽은 [math(X)]를 local하게 affine scheme으로 보고 이를 [math(U={\rm Spec}\,R)]이라고 쓰면 [math({\cal O}_X(U)\to R)]이 언제나 존재하므로 이를 붙혀서 만들 수 있다. 그리고 이 composition은 open immersion이 되어야 하니까 왼쪽도 똑같이 open immersion이 되어야 한다. 이제 다음을 증명하자. > [math(X)]가 quasi-affine일 필요충분조건은 [math({\cal O}_X)]가 ample인 것이고 이는 [math({\cal O}_X)]가 very ample이라는 것과 동치다. 먼저 [math({\cal O}_X)]가 ample이면 당연히 very ample이고 위에서 했던 것과 [math({\cal O}_X)]에 대해선 [math(\Gamma_*(X,{\cal O}_X)=\Gamma(X,{\cal O}_X)[x])]인 것으로 [math(X\to {\rm Spec}\,(\Gamma(X,{\cal O}_X)[x]))] 라는 open immersion을 만들 수 있고, 따라서 [math(X)]는 quasi-affine이다. 그리고 이것으로 위에서 한 것으로 [math({\cal O}_X)]는 very ample이 되고 very ample이면 ample이다. quasi-affine이 있으면 quasi-projective도 정의할 수 있다. [math(k)][* 꼭 field가 아니어도 된다.] 위의 scheme of finite type [math(X)]이 '''projective'''라는 것은 적당한 [math(n)]이 있어서 다음과 같은 closed immersion [math(X\to \mathbb{P}^n_k)] 이 있을 때를 말한다. 비슷하게, '''quasi-projective scheme'''을 어떤 projective scheme의 open subscheme이라고 정의한다. 그렇다면 다음이 성립한다. > [math(k)] 위의 scheme of finite type [math(X)]가 quasi-projective일 필요충분조건은 [math(X)]에 ample line bundle이 존재하는 것이다. 이제, [math(S)]가 quasi-compact일 때 [math(X\to S)]가 affine morphism이란 것을 모든 [math(S)]의 open subscheme의 inverse image가 affine인 것을 뜻한다고 하고 quasi-affine morphism은 inverse image가 quasi-affine인 것을 뜻한다고 하자. 비슷하게 [math(k)]-scheme들의 morphism [math(X\to S)]가 projective morphism이란 것을 모든 [math(S)]의 open subscheme의 inverse image가 projective scheme over [math(k)]인 것을 뜻하고 quasi-projective morphism도 비슷하게 정의한다. 증명은 간단하게 [math({\cal L})]가 그 ample line bundle이면 [math({\cal L}^{\otimes n})]은 다음과 같은 immersion들 [math(X\to {\rm Proj}\,\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n})\to \mathbb{P}^m_k)] 을 만든다. 그러면 오른쪽은 closed immersion이고 왼쪽은 open immersion이다. 반대방향은 간단히 [math(\mathbb{P}^m_k)]에 있는 Serre twisting sheaf를 뒤로 밀어주자. [math(S)] 위의 quasi-coherent sheaf [math({\cal F})]에 대해서 [math({\rm Spec}\,{\cal F})]를 적당한 [math(S)]의 affine open covering [math(\{U_i\})]가 있어서 [math({\cal F}(U_i)=M_i)]라고 한다면 [math({\rm Spec}\,{\rm Sym}\,M_i)]들을 붙힌 scheme으로 정의하자. 여기에서 [math({\rm Sym}\,M_i)]는 [math(M_i)]의 symmetric product로 간단히 [math(M_i)]에다가 곱셈을 추가한 것이다. 비슷하게 우리는 [math({\rm Proj}\,{\cal F})]를 정의할 수 있다. 단 Proj때는 [math(M_i)]들이 finite module이어야 정의 가능하다고 생각하자. 그러면 언제나 [math({\rm Spec}\,{\cal F},{\rm Proj}\,{\cal F}\to S)]가 존재한다. 그리고 affine morphism과 projective morphism은 각각 이런 꼴 morphism이라고 정의할 수 있고, quasi-affine morphism과 quasi-projective morphism은 open immersion과 이런 꼴 morphsim의 composition이라고 할 수 있다. projective morphism은 모두 proper morphism이다. 이는 [math(k=\mathbb{Z}, S={\rm Spec}\,\mathbb{Z})]에서 증명해도 증명이 끝나며 그 다음엔 적당히 식을 변형해서 valuative criterion을 쓰면 된다.[* 자세한 증명은 Hartshoren의 2.4단원에 있다.] 한 편으론, proper morphism은 projective morphism하고 상당히 가깝다. > '''(Chow's lemma)''' [math(S)]가 noetherian이고 [math(X\to S)]가 proper morphism이라고 하자. 그러면 적당한 자연수 [math(n)]과 [math(\mathbb{P}^n_{S})]의 closed subscheme [math(X')]하고 surjective morphism [math(f:X'\to X)]가 있어서 이것과 [math(X'\to S, X\to S)]는 commutative diagram을 이루고 적당한 [math(X)]의 dense open subscheme [math(U)]가 있어서 [math(f^{-1}(U)\cong U)]가 된다. 증명은 생략하겠다. 이 정리는 projective란 말이 붙은 거의 모든 건 proper라고 이름을 바꿔도 된다는 정리다. 다른 한 편으론, 사실 거의 모든 morphism of schemes는 proper morphism하고 상당히 가깝다. > '''(Nagata compactification theorem)''' [math(S)]가 quasi-separated and quasi-compact라고 하고 [math(f:X\to S)]가 separated and finite presentation morphism이라고 하자. 그러면 적당한 proper morphism [math(X'\to X)]하고 open immersion [math(X\to X')]가 있어서 이 셋은 commutative diagram을 이룬다. 이것 역시 증명을 생략하겠다. 이것은 아주 대충 말해서 locally compact space가 one-point compactificable하듯 거의 모든 scheme은 compactificable하다는 정리다. affine scheme 위의 coherent sheaf는 쉬우니까 이제 projective scheme 위에서의 coherent sheaf를 한 번 살펴보자. 먼저 [math(k)]가 field(또는 그냥 Noetherian ring)라고 하고 [math(\mathbb{P}^n_k)]를 생각해보자. 그러면 이것엔 당연한 affine covering [math(n+1)]개가 있고, 이런 affine covering들에서 coherent sheaf를 생각한다면 적당한 [math(d_1,\cdots,d_r)]이 있어서 [math( \prod_{i}{\cal O}(d_i)\to {\cal F})] 란 surjection이 있게 된다. 이것은 그냥 [math(A)]가 Noetherian graded ring이고 [math(M)]이 그 위의 finite module일 때 [math(A)]의 각 단계마다 [math(A^r\to M)]을 써준 걸로 생각하면 편하다. 그리고 일반적인 scheme에 대해서도 pullback을 생각하면 이것과 완전히 똑같이 생각할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기