문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 야코비안 (문단 편집) === 유도 === 벡터를 이용한 넓이 공식 및 다변수 함수의 전미분으로부터 유도할 수 있다[* 엄밀하게는 미분형식에 대해 [[크라메르 공식]]을 이용하는 방식을 이용한다. [math(x, y)] 쌍과 [math(u, v)] 쌍이 서로 독립적이기 때문에 각각의 1-형식인 [math({\rm d}x, {\rm d}y)]와 [math({\rm d}u, {\rm d}v)]가 각각에 대해 독립적이 되는지라 선형대수를 접목시킬 수 있고, 그 결과가 야코비안으로 나오는 것.]. 간단하게 2차원 직교 좌표계의 경우를 보자. [math({\rm d}x)], [math({\rm d}y)]는 서로 독립이며 각각 [math(x)]축, [math(y)]축에 평행한 미소(smallness 또는 infinitesimals) 길이므로 단위 벡터 [math({\bf e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix})], [math({\bf e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix})]를 이용하여 나타내면 각각 || [math(\begin{aligned} {\rm d}x {\bf e_1} &= {\bf dx} = \begin{pmatrix} {\rm d}x \\ 0 \end{pmatrix} \\ {\rm d}y {\bf e_2} &= {\bf dy} = \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}y \end{pmatrix} \end{aligned})] || 가 된다. 두 벡터를 변으로 삼는 평행사변형의 넓이는 각 벡터를 병합한 2차 정방행렬의 행렬식[* 정확히는 두 벡터의 외적으로 얻어진 벡터의 크기인데 이를 라플라스 전개로 분해하면 이렇게 된다.]이므로 [math(xy)]직교좌표계에서의 미소 평행사변형의 넓이는 || [math(\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} {\rm d}x & 0 \\ 0 & {\rm d}y \end{Vmatrix} = | {\rm d}x{\rm d}y |)] || 로 주어진다. 한편 [math(x,\,y)]가 극좌표 매개변수 [math(r,\,\theta)]로 나타낼 수 있는 함수 [math(x(r,\,\theta))], [math(y(r,\, \theta))]라고 할 때 각각의 전미분 [math({\rm d}x,\,{\rm d}y)]는 다음과 같이 된다. || [math(\begin{aligned} {\rm d}x &= \frac{\partial x}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} {\rm d}\theta \\ {\rm d}y &= \frac{\partial y}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial y}{\partial \theta} {\rm d}\theta \end{aligned})] || [math(\mathrm dr)], [math(\mathrm d\theta)]도 서로 독립이며 [math(\mathrm dx)], [math(\mathrm dy)]처럼 벡터로 나타낼 수 있으므로 위 전미분 식의 미소 길이를 모두 벡터로 대체한다. || [math(\begin{aligned} {\bf dx} &= \dfrac{\partial x}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial x}{\partial r} \begin{pmatrix} {\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \\ {\bf dy} &= \dfrac{\partial y}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial y}{\partial r} \begin{pmatrix}{\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \end{aligned})] || 이제 이것을 행렬식에 대입하면 || [math(\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix})] || 행렬식은 전치를 해도 값이 같으므로 위 식 전체를 [[전치행렬]]로 계산하면 [math(({\bf AB})^{\rm T} = {\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T})]에서 || [math(\begin{aligned} \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix} &= \begin{Vmatrix} \left( \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \right)^\mathrm T \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \end{Vmatrix} \\ &= \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{aligned} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{Vmatrix} = |J| | {\rm d}r{\rm d}\theta | \end{aligned})] || 일반적으로 [math({\rm d}x{\rm d}y)], [math({\rm d}r{\rm d}\theta)]가 양의 값이 되도록 좌표축을 잡으므로 || [math({\rm d}x{\rm d}y = |J|{\rm d}r{\rm d}\theta)] || [math(3)]차원 공간 좌표계를 이용해서도 같은 방법으로 유도할 수 있다. 더 힘들 뿐이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기