문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 약수(수학) (문단 편집) === 약수의 개수 === 자연수를 소인수분해하였을 때, 각 소인수의 지수에 1을 더한 수들을 곱한 값이다. 예를 들어, 72는 2^^3^^×3^^2^^이므로 약수의 개수는 (3+1)×(2+1)=12이다. 이는 자연수를 a^^p^^×b^^q^^×c^^r^^×...의 꼴로 가정했을 때 1에 a를 0, 1, 2, ..., p번(총 p+1가지), b를 0, 1, 2, ..., q번(총 q+1가지), c를 0, 1, 2, ..., r번(총 r+1가지)... 곱하는 경우가 존재하며, 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하면 (p+1)×(q+1)×(r+1)...이 되기 때문이다. [[제곱]]수의 약수의 개수는 홀수이고, 제곱수가 아닌 경우는 짝수이다. 제곱수의 경우 소인수를 a, b, c, ...라고 할 때 (a^^p^^×b^^q^^×c^^r^^×...)^^2^^ = a^^2p^^×b^^2q^^×c^^2r^^×...의 꼴로 표현되므로 소인수의 제곱 횟수가 모두 짝수가 되어, 위 방법으로 약수의 개수를 계산하면 (짝수+1)×(짝수+1)×...×(짝수+1) = (홀수)×(홀수)×...×(홀수) = (홀수)가 되기 때문이다. 반면 제곱수가 아닌 경우는 이러한 꼴로 나타낼 수 없으므로 소인수의 제곱 횟수 중 홀수인 것이 존재한다. 따라서 약수의 개수를 계산할 때 곱하는 수들 중 (홀수+1) = (짝수)인 것이 존재하여 곱셈 결과, 즉 약수의 개수도 짝수가 된다. 이와 관련된 유명한 수학 문제가 하나 있다. > 옛날 어느 왕국의 성벽에는 1번부터 100번까지 100개의 성문이 있는데, 매일 100명의 문지기가 다음과 같은 방법으로 문을 여닫는다고 한다. > 1번 문지기는 모든 문을 열어 놓는다. > 2번 문지기는 2의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다. > 이와 같은 방법으로 n번 문지기는 n의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다. > 그렇다면, 100명이 모두 문을 여닫았을 때, 열려 있는 문은 몇 번 문인가? 1번 문지기가 모든 문을 열어 놓으므로 처음에는 모든 문이 닫혀 있다고 가정하자. n번 문은 n의 약수에 해당하는 문지기에 의해 열리고 닫힐 것이다. 문이 열려 있으면 그 문을 여닫은 문지기가 홀수 명이라는 뜻이고, 닫혀 있으면 짝수 명이라는 뜻이므로, 열려 있는 문에 해당하는 번호의 약수의 개수는 홀수일 것이다. 따라서 최종적으로 제곱수에 해당하는 1, 4, 9, ..., 100번의 10개의 문이 열려 있을 것이다. 참고로 2014학년도 3월 고2 [[전국연합학력평가]] 수학 B형에도 비슷한 문제가 등장했는데, n 이하의 자연수 중 양의 약수가 홀수 개인 자연수를 개로 하여 =16인 자연수의 최댓값을 구하는 문제이다. 정답은 288로, 교육청에서 제공한 공식 풀이에서 이 성질을 활용하였다.[* 위의 문제를 이해했다면, =m일 때, m^^2^^≤n<(m+1)^^2^^ 라는 것을 눈치챘을 것이다. 수식을 이용해 나타내면 [math(\langle n\rangle = \lfloor \sqrt{n}\rfloor)]이다. [math(\lfloor\;\cdot\;\rfloor)]는 [[바닥 함수]].] 약수의 개수의 성질로는 이 외에도 다음과 같은 것들이 있다. * 어떤 자연수의 '''약수의''' 약수의 개수는 그 '''자연수의''' 약수의 개수보다 작거나 같다. 같을 때는 약수가 그 자연수인 경우뿐이다. * 소인수 a의 n제곱 꼴로 나타내어지는 수의 약수의 개수는 (제곱 횟수(진약수의 개수)+1)이고, 약수는 1, a, a^^2^^, ..., a^^n^^이다. 예를 들어 16=2^^4^^는 소인수인 2의 4제곱이므로 약수가 5개(1, 2, 4, 8, 16)이다. 다항식의 약수 역시 같은 방법으로 생각할 수 있는데, 이때는 소인수 대신 인수분해한 결과에서의 각 다항식을 이용한다는 점만 다르다. 예를 들어 [math(x^4-2x^2+1)]을 인수분해하면 [math((x-1)^2(x+1)^2)]가 되므로 [math((x-1))]과 [math((x+1))]을 각각 0, 1, 2번 곱하는 경우가 있기 때문에 약수는 (2+1)×(2+1)=9개가 된다. 더 이상 인수분해되지 않는 다항식들을 소수처럼 취급하는 셈이다. 앞에서 서술했듯 더 이상 인수분해되지 않는다는 것은 유리계수다항식까지다. 이를 [[함수]]의 꼴로 만든 것이 [[약수 함수]]이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기