문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 양자장론 (문단 편집) === 장의 성분 === 장은 [[파동함수]]와 비슷해 보이지만 파동함수와는 달리 고유상태와 고유값을 가지지 않는다. 파동함수는 기저들이 직교하는 [[힐베르트 공간]]에 있으며 주어진 파동함수로부터 고유값에 해당하는 물리량을 끌어낼 수 있지만, 장은 [[힐베르트 공간]]으로 표현되지 않으며, 양자장론에서는 양자역학에서와 같은 고유값과 고유상태가 존재한다는 가정을 진공상태에 적용한다. 양자장은 상호작용을 무시할 경우 포크 공간(Fock space)의 원소로 취급할 수 있다. 이차양자화의 정준교환관계 연산자들은 포크 공간 상에서 작용한다. 이차양자화를 하기 앞서, 먼저 [[파동함수]]를 어떻게 결정할 것인지 파악할 필요가 있다. 해당 내용은 양자역학에서 사용한 [[푸리에 변환]]을 사용한다. 푸리에 변환을 통해 임의의 파동함수는 모드의 중첩으로 표현할 수 있게 된다. [[상대론적 양자역학]]에서는 위치 뿐만 아니라 시간 또한 고려해야 하기 때문에 파동함수는 다음과 같은 4차원 시공간 변수로써 나타내게 된다. 벡터 표현을 쓰지만 내적곱을 할 것은 아니고 표현을 빌려온 것 뿐이다. [math( x^\mu =(t,x,y,z), \qquad X^\mu =(T,X,Y,Z))] 다음과 같이 변수가 한정된 범위에서 나타난다고 하였을 때, [math( x^\mu \in [-X^\mu, X^\mu])] 각 변수에 따른 확률들은 모두 독립적으로 작용할 테니, 다음과 같이 표현할 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \phi(t,x,y,z) = &\sum_{n=0}^\infty \left[ a_n \sin \left(\frac{n\pi}{X}x\right)+ b_n \cos\left(\frac{n\pi}{X}x \right) \right] \times \sum_{m=0}^\infty \left[ c_m \sin \left(\frac{m\pi}{Y}y \right)+ d_m \cos\left(\frac{m\pi}{Y}y \right) \right]\\ \qquad\qquad\qquad &\times \sum_{r=0}^\infty \left[ f_r \sin \left(\frac{r\pi}{Z}z\right)+ g_r \cos\left(\frac{r\pi}{Z}z \right) \right]\times \sum_{s=0}^\infty \left[ h_s \sin \left(\frac{s\pi}{T}t\right)+ j_s \cos\left(\frac{s\pi}{T}t \right) \right] \end{aligned} )]}}}|| [math(\displaystyle )] 만약 [math( X^\mu)]의 크기를 무한대로 보내서, 위치, 시간의 변수가 존재할 수 있는 공간을 실수 전체 영역으로 확장하면, 우리가 익히 아는 푸리에 변환이 된다. 시간 변수를 제외한 위치변수에 대해서 푸리에 변환으로 나타내면 다음과 같이 표현된다. [math(\displaystyle \phi(t,x,y,z)=\lim_{T\to \infty}\sum_{s=-\infty}^{\infty}\iiint \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3}\phi(\bold p) D_s e^{\frac{i}{\hbar}\bold p\cdot \bold x} e^{-\frac{i}{\hbar} E_s t})] 어디까지나 임의의 [math(\bold{p})]와 [math(E)]에 관한 일반적인 푸리에 변환이기 때문에, 구성된 (불완전한) 푸리에 변환식이 항상 아인슈타인의 에너지-운동량 관계식을 만족하는 것은 아니다. [math(\displaystyle (-\hat{\mathcal{H}}^2 +\hat P^2 +m^2)\phi(t,x,y,z) \neq 0 )] 하지만 우리가 알고 있는 한 상대성 이론의 에너지-운동량 관계식은 법칙으로써 작동한다는 것을 알고 있고, 항상 만족하길 바라기 때문에 시간의 계수항([math( D_s )])이 [math( E^2 = \left(\bold P\right)^2 + m^2)]을 만족하도록 조정해 줄 수 있는 특수한 함수가 될 필요가 있다는 것을 알 수 있다. 어떤 [math(\bold P)]와 [math(E)]가 주어져도, 항상 에너지-운동량 관계식이 성립할 수 있도록 조정해 줄 수 있는 함수는 [[디랙 델타 함수]]다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{T \to \infty}\sum_{s=-\infty}^{\infty} D_s e^{-\frac{i}{\hbar} E_s t} = &\int dE\,\, \delta \left[E^2 - (\bold p^2 +m^2))\right] \phi_0(E) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}\\ \qquad\qquad\qquad \Longrightarrow \quad &\phi(t,x,y,z) = \int \frac{d^3 p \, dE}{(2\pi)^3}\phi(\bold p)\phi(E) \delta (E^2 - \bold p^2 -m^2) e^{\frac{i}{\hbar} \left(\bold p\cdot \bold x- E t\right)} \end{aligned} )]}}}|| 여기서 [math(\phi(\bold p) \phi_0 (E))]는 운동량 [math(\bold p)] 와 [math(E)] 를 가지는 평면파[math(\left(\exp(\dfrac{i}{\hbar}\left[\bold p \cdot \bold x - E t\right]\right))] 의 진폭이다. 다음과 같이 묶어서 에너지,운동량에 따르는 함수로 표현할 것이다. [math(\displaystyle \phi(\bold p) \phi_0 (E) = \phi(E, {\bold p}))] 그런데 아인슈타인의 에너지-운동량관계가 성립하도록 집어 넣은 디랙 델타 함수의 꼴을 보면, 음의 에너지 값과 양의 에너지 값을 허용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 디랙 델타 함수를 지우고 운동량 적분의 관계식으로 나타내면 다음과 같이 두 개의 항으로 쪼개지게 된다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \phi(t,x,y,z) = \int \frac{d^3 \bold p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}\left[\phi(E_p, \bold p) e^{\frac{i}{\hbar}\left(\bold p \cdot \bold x - E_p t \right)} + \phi(-E_p, -\bold p) e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\bold p \cdot \bold x - E_p t \right)}\right] \end{aligned} )]}}}|| 이때 운동량 [math(\bold p)]에 대응되는 에너지를 [math(E_p =\sqrt{{\bold p}^2 +m^2})]로 나타내었다. 위에서 선보인 방정식은 상대론적 양자장론에서 쓰이는 장의 (가장 단순하면서)일반적인 형태이다. 만약 [[클라인-고든 방정식]]만을 만족한다면 위의 방정식을 그대로 쓰게 되고, 디랙 방정식을 만족하면 [math(\phi(E_p,\bold p))]가 양자역학에서 봐온 스피너(같은 변환에 대해 다른 방향으로 변환되는 1/2 스피너 두개의 결합상태)로 바뀌게 되고, 전자기파의 경우, 맥스웰 방정식을 만족한다는 특징과 연결되어 편극벡터가 된다.[* 더 나아가, 손잡이에 따른 대칭성을 추가로 더 고려하게 되면,([math(SU_L(2)\otimes U_Y(1))]) 게이지 장에 대한 정보를 얻을 수 있으며, 힘을 매게하는 게이지 장은 전자기파와 같은 형식을 공유하게 된다. 만약 색전하([math(SU_c(3))])의 대칭성을 고려하면 글루온을 찾을 수 있으며 이 또한 전자기파와 비슷한 형태로 쓰여진다. 이 모든 것을 아울러서, 상대론적 양자장론상에 등장하는 (거의) 모든 종류의 상호작용과 입자들을 정립한 것이 표준모형이다.] 한편, 만약 [math(\phi)]가 실수라면, 즉 켤레 복소수 [math(\phi^*)]가 [math(\phi)]와 같다면 [math(\phi(-E_p, -\bold p) = \phi^*(E_p, \bold p))]임을 쉽게 알 수 있다. 이에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle \phi(t, \bold{x}) = \int \frac{d^3 \bold p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \left[ a_{E_p, \bold{p}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } + a^*_{E_p, \bold{p}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} \right])] 여기서 [math(a_{E_p, \bold{p}} = \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \phi(E_p, \bold{p}))]로 표기하기로 한다. (그리고 여기서부터 [[자연 단위계]](즉, [math(c = \hbar = \varepsilon_0 = \mu_0 = 1)])를 쓰기로 한다. 왜 그냥 [math(\phi(E_p, \bold{p}))]가 아닌 [math(\frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \phi(E_p, \bold{p}))]로 [math(a)]를 정했는지는 따로 이유가 있고, 이는 나중에 설명하기로 하겠다. 그리고 여기서 사실 [math(a^*_{E_p, \bold{p}})]가 '''양의 에너지 해'''에 해당하고 [math(a_{E_p, \bold{p}})]가 '''음의 에너지 해'''에 해당한다는 것도 기억해 두자. 표기했던 것과는 반대인 것 같아 보이지만 결국 붙어 있는 지수 함수 부분 안의 부호에 의하여 결정된 표기이다. 나중에 이들에 대한 양자장론적인 해석을 하도록 하겠다. 한편, 이상하게 들릴지도 모르겠지만 주어진 장이 실수가 아닐 수도 있다. 이때 다음과 같이 표기할 수도 있다. [math(\displaystyle \phi(t, \bold{x}) = \int \frac{d^3 \bold p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \left[ a_{E_p, \bold{p}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } + b^*_{E_p, \bold{p}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} \right])] [math(\displaystyle \phi^*(t, \bold{x}) = \int \frac{d^3 \bold p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \left[ b_{E_p, \bold{p}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } + a^*_{E_p, \bold{p}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} \right])] 이 경우 [math(\phi(-E_p, -\bold p) = \phi^*(E_p, \bold p))]가 일반적으로 성립하지 않으므로 [math(\frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \phi^*(E_p, \bold p))]에 해당하는 것을 [math(b^*_{E_p, \bold{p}})]로 표기하기로 한다. 이번에도 그냥 [math(b)]가 아닌 [math(b^*)]로 표기하는 이유는 따로 있고, 이 역시 아래에서 설명이 되어있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기