문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 양자장론 (문단 편집) === 정규양자화 === 이제 장을 양자화해 보도록 하자. 장이 어떤 '물리량'인 만큼 양자역학에서 으레 그렇듯 사실 슈뢰딩거 방정식에서 전자를 다룬 방식을 보면 장 = 파동함수 혹은 상태로 보고 접근하는 것이 옳아 보인다. 하지만 이러한 접근법은 문제가 있다. 맨 먼저 예로 들 수 있는 것으로, 파동 함수로 기술하기 위해서는 초기 상태와 나중상태가 똑같게 유지 되어야 한다. 이게 대수냐고 할 수 있겠지만 사실 이렇게 되면 '''광자가 흡수 혹은 방출되는 상황(광자 수가 늘거나 줄어드는 상황)을 잘 설명하지 못한다.'''[* 물론 광자가 튀어나오는 상황을 기술 할 때, 초기 상태에서 부터 광자의 양자상태가 존재하지만 진폭이 0이었다가 나중상태에서 광자의 양자상태 진폭이 0이 아닌 값을 가지게 하여 기술할 수 있다.] 애초부터 전자기 상호작용을 제대로 설명하지 못하는 꼴인 셈이다. 그 외에도 음의 에너지 해 문제도 유명한데, [[폴 디랙]]이 디랙의 바다 개념으로 해결했다고 하지만[* 사실 이 관점도 가만 뜯어보면 이상한 점이 여럿 보인다. 그중 하나를 들자면, 입자와 반입자가 만났을 때 둘의 질량 만큼의 에너지가 '방출'된다고 하고 이게 광자의 형태로 주로 나온다는 설명이다. 이게 뭐가 문제냐면, 디랙 방정식은 그 자체로 자유 입자, 즉 어떠한 '''상호작용도 없는''' 입자는 기술하는 방정식으로 전자기 상호작용도 물론 하지도 않는 입자를 기술하는 건데, 디랙의 바다에서는 느닷없이 광자가 튀어나오는, 그러니까 상호작용 자체가 필요한 현상이 일어난다.][* 다른 관점에서 바라보면, 모든 현상은 에너지가 낮은 쪽으로 이동하려는 경향이 있다. 디랙 바다가 텅텅 비어 있다면 [math(-\infty)]인 양자상태로 전이가 일어날 것이며 무한히 큰 에너지의 광자가 나오게 된다. 이것도 valance band에 전자가 꽉 차 있고 conduction band에 전자가 조금 있는 반도체의 band structure와 비슷하게 기술하면 문제를 해결할 것 처럼 보이긴 하나, 마찬가지로 음의 에너지에 전자가 꽉 차 있어야 하는 상황과 마주하게 된다.] 이건 오로지 페르미온에만 해당하는 사항이다. 하지만 이것들 말고도 더 심각한 문제가 있는데, 그것은 바로 '''[[인과율]] 위반'''이다. [[상대성 이론]]을 적용하여 어느 위치와 시간에서 표현된 양자상태가 다른 위치와 시간의 양자 상태로 전이[* 이동이 될 수 있고, 다른 양자상태를 거쳤다가 갈 수도 있다.]되는 상황을 풀어 본다고 하자. 여기서 두 양자 상태는 같은 입자라 가정하고 전이가 시작되는 시간-위치와 전이하려는 시간-위치의 관계가 상태성이론에서 언급하는 space-like proper time[* [math( c^2\tau^2 = c^2 t^2 - \bold x^2)]으로 알려진 상대성이론의 proper time이며, space-like proper time은 [math( c^2\tau^2 <0 )]이다.]을 만족할 때 전이진폭(전이할 확률의 진폭)값은 [math( e^{-m\left|\tau\right|})]에 비례한다. 굉장히 작지만 분명히 0이 아닌 이 계산값은 심각한 문제를 제기하는데, 이 결과는 설사 space-like proper time[* [math( \tau^2)]가 음수이며, 두 시간-위치좌표는 입자가 이동하는 상황이 아닌 독립적인 두 event가 있음을 나타낸다.]이 성립하는 두 시간-위치 좌표를 설정해도 입자가 이동(전이)할 수 있다는 것을 의미하기 때문에, 모든 물체는 빛의 속도를 뛰어 넘어 이동할 수 없다는 제한을 정면으로 위반한다. 그러나 양자장론에 따라 장에 따라 기술하면 이러한 인과율 위반 문제는 말끔하게 해결된다. 양자장론에서 어떤 입자의 두 시간-위치 좌표간의 proper time이 음수가 되면(즉, space-like proper time이 되면) 전이진폭은 정확히 0이 되어, 인과율을 위반하는 문제를 완벽하게 허용하지 않는다.[* M. E. Peskin, D. V. Schroeder, An introduction to Quantum Field Theory, Westview(1995), Sec.2.1(13p): 아예 제목부터 "The necessity of the Field Viewpoint"(장의 관점으로 봐야 할 필요성)이다.] 이러한 배경에 입각하여 실수 스칼라 장을 양자화해 보도록 하자. 위에서 구한 [math(\phi(t, \bold{x}))]의 꼴을 자세히 보면 사실 다른 건 건들 것도 없고 [math(a_{E_p, \bold{p}})]만 연산자로 취급하는 것으로 충분하다는 것을 알 수 있다. (그런 이유로 [math(a^*)]를 [math(a^\dagger)]로 표기한다.) 양자역학에서 새로운 연산자들을 만나면 항상 이들의 교환 관계(commutative relation)를 따진다. 이때 임의의 [math(t, \bold{x}, \bold{y})]에 대하여 [math([\phi(t, \bold{x}), \phi(t, \bold{y})])]는 0이어야 할 것이다. 같은 시간에 서로 다른 두 위치는 전혀 상관이 없어야 하기 때문이다. 그 어떤 정보도 빛의 속력보다 빠르게 전달될 수 없다는 것을 상기하면 이해가 빠를 것이다. 이제 이 식에 위에서 구한 [math(\phi(t, \bold{x}))] 꼴을 대입해 보면 다음을 얻는다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} &\left[\phi(t, \bold{x}), \phi(t, \bold{y})\right]\\ &= \left[ \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \left( a_{E_p, \bold{p}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{y} - E_p t \right) } + a^\dagger_{E_p, \bold{p}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} \right), \int \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_q}} \left( a_{E_q, \bold{q}} e^{ i \left(\bold{q}\cdot \bold{y} - E_q t \right) } + a^\dagger_{E_q, \bold{q}} e^{ -i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right)} \right) \right]\\ &= \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \int \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_q}} \left( e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{y} - E_p t \right) } e^{ i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right) } \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}} \right] + e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} e^{ -i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right)} \left[ a^\dagger_{E_p, \bold{p}}, a^\dagger_{E_q, \bold{q}} \right] \right)\\ &\;\;\; + \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \int \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_q}} \left( e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{y} - E_p t \right) } e^{ -i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right)} \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a^\dagger_{E_q, \bold{q}} \right] + e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} e^{ i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right) } \left[ a^\dagger_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}} \right] \right) \end{aligned} )]}}}|| 여기서 마지막 줄의 두 항이 사실상 부호 빼고 같다는 걸 보자. [math(\bold{p})], [math(\bold{q})] 둘 다 적분 더미 변수이고 [math([A, B] = -[B, A])]인 걸 이용하면 된다. 한편 남는 바로 윗 줄은 딱히 0이 될 여지가 없어 보인다. 그럼에도 이 식이 0이려면 모든 [math(\bold{p})], [math(\bold{q})]에 대하여 다음이 성립해야 할 수밖에 없다는 것을 알 수 있다. [math(\displaystyle \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}} \right] = 0, \left[ a^\dagger_{E_p, \bold{p}}, a^\dagger_{E_q, \bold{q}} \right] = 0)]. 그러면 이제 [math(\left[ a_{E_p, \bold{p}}, a^\dagger_{E_q, \bold{q}} \right])]를 구해보면 좋을 것 같아 보인다. 이걸 위해 정준켤레와 교환자가 사용된다. 정규양자화에 따르면 주어진 고전역학 시스템의 모든 푸아송 괄호들은 양자역학 시스템에서 연산자들의 교환 관계와 대응하게 된다. 즉, [math(a, b)]를 고전역햑 시스템에서의 어떤 두 물리량이라고 하고 [math(A, B)]를 이들 각각에 해당하는 양자역학 시스템에서의 두 연산자라고 했을 때, 푸아송 괄호 [math(\{a, b\})]는 교환자 [math(\frac{1}{i\hbar} [A, B])]에 대응한다. 이제 위에서 소개한 푸아송 괄호관계를 통해 다음을 알 수 있다. [math(\displaystyle \left[\phi(t, \bold{x}), \pi_\phi(t, \bold{y})\right] = i\delta^3( \bold{x} - \bold{y} ) )]. 여기서 이미 [math(\pi_\phi = \partial_t \phi)]임을 알고 있다. 이로부터 다음을 계산할 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} &\left[\phi(t, \bold{x}), \pi_\phi(t, \bold{y} ) \right] = \left[\phi(t, \bold{x} ), \partial_t \phi(t, \bold{y} )\right]\\ &= \left[ \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \left( a_{E_p, \bold{p}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } + a^\dagger_{E_p, \bold{p}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right)} \right), \int \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_q}} \left( a_{E_q, \bold{q} } ( \partial_t e^{ i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right) } ) + a^\dagger_{E_q, \bold{q} } ( \partial_t e^{ -i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right)} ) \right) \right]\\ &= \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{iE_q}{\sqrt{2 E_q}} e^{ i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } e^{ -i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right) } \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \right]\\ &\;\;\;+ \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{-iE_q}{\sqrt{2 E_q}} e^{ -i \left(\bold{p} \cdot \bold{x} - E_p t \right) } e^{ i \left(\bold{q} \cdot \bold{y} - E_q t \right) } \left[ a_{E_p, \bold{p}}^\dagger, a_{E_q, \bold{q}} \right]\\ &=i \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} \frac{d^3 \bold{q}}{(2\pi)^3} \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{E_p}{E_q}} + \sqrt{\frac{E_q}{E_p}} \right) e^{ i \left( \bold{p} \cdot \bold{x} - \bold{q} \cdot \bold{y} \right) - i( E_p - E_q ) t } \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \right] \end{aligned} )]}}}|| 여기서 [math(\left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}} \right] = 0, \left[ a^\dagger_{E_p, \bold{p}}, a^\dagger_{E_q, \bold{q}} \right] = 0)]을 썼고 두번째 적분의 dummy 변수 [math(\bold{p}, \bold{q})]를 바꿨다. 지금 원하는 건 이렇게 계산한 [math([\phi(t, \bold{x}), \pi_\phi(t, \bold{y})])]가 정준양자화의 결과인 [math(i\delta^3(\bold{x} - \bold{y}))]와 같은 것이다. 이것과 좀 전의 결과를 비교하기 위해 델타 함수를 좀 더 비슷한 꼴로 쓸 필요가 있다. 다음이 잘 알려져 있다. [math(\displaystyle \delta^3(\bold{x} - \bold{y}) = \int \frac{d^3 \bold{p}}{(2\pi)^3} e^{i \bold{p} \cdot ( \bold{x} - \bold{y} )})]. 이걸 앞의 결과와 비교해 보자. 이때 피적분함수 부분에서 [math(\bold{p} = \bold{q})]이기만 하면 이 둘이 완전히 똑같아진다는 것을 알 수 있다. 이로부터 다음이 만족되어야 함을 알 수 있다. [math(\displaystyle \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \right] = (2 \pi)^3 \delta^3(\bold{p} - \bold{q}))]. 이렇게 해서 [math(a_{E_p, \bold{p}})]와 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]의 교환 관계를 파악했다. 이걸 이용해서 이 연산자들이 갖는 물리적 의미를 찾을 수 있다. 물리적 의미를 보고자 한다면 [[라그랑지안]] 혹은 [[해밀토니안]]을 봐야 한다. 일단 우리는 에너지와 운동량에도 관심이 있으니, 해밀토니안 연산자를 자세히 들여다 볼 필요가 있겠다. 해밀토니안은 이미 알고 있는 라그랑지안으로부터 바로 얻을 수 있다. [math(\displaystyle \mathcal{H} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial ( \partial_t \phi )} ( \partial_t \phi ) - \mathscr{L} = \int d^3 x \left( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial ( \partial_t \phi )} ( \partial_t \phi ) - \mathscr{L} \right))] [math(\displaystyle = \int d^3 x \displaystyle \frac{1}{2} ( \pi^2 + ( \bold{\nabla} \phi )^2 + m^2 \phi^2 ))] 식 전개를 간편하게 하기 위해 [math(\phi)]와 [math(\pi)]를 다음과 같이 써 보도록 하자. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} &\phi(t, x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \sqrt{\frac{1}{2E_p}} ( a_{E_p, \bold{p}}(t) + a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger ) e^{i \bold{p} \cdot \bold{x}}, \\ &\pi(t, x) = -i \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \sqrt{\frac{E_p}{2}} ( a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger ) e^{i \bold{p} \cdot \bold{x}}\\ &\! \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) = a_{E_p, \bold{p}} e^{-i E_p t} \right) \end{aligned} )]}}}|| 이걸 해밀토니안에 대입해 보자. [math(\displaystyle \mathcal{H} = \int d^3 x \int \frac{d^3 p \; d^3 q}{(2 \pi)^6} \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{E_p E_q}}{2} ( a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger )( a_{E_q, \bold{q}}(t) - a_{E_q, -\bold{q}}(t)^\dagger ) + \frac{-\bold{p} \cdot \bold{q} + m^2}{2\sqrt{E_p E_q}} ( a_{E_p, \bold{p}}(t) + a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger )( a_{E_q, \bold{q}}(t) + a_{E_q, -\bold{q}}(t)^\dagger ) \right) e^{i (\bold{p} + \bold{q}) \cdot \bold{x}})] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{E_p}{4} \left( -( a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger )( a_{E_p, -\bold{p}}(t) - a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger ) + ( a_{E_p, \bold{p}}(t) + a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger )( a_{E_p, -\bold{p}}(t) + a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger ) \right))] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{E_p}{2} \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger + a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t) \right))] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{E_p}{2} \left( a_{E_p, \bold{p}} a_{E_p, \bold{p}}^\dagger + a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}} \right))] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} E_p \left( a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}} + \frac{1}{2} [ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_p, \bold{p}}^\dagger ] \right).)] 이거 어디서 많이 보지 않았는가? 다름 아닌 '''[[양자 조화 진동자|조화진동자]]의 해밀토니안과 비슷하게 생겼다'''. 더군다나 앞에서 보인 식 [math(\left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \right] = (2 \pi)^3 \delta^3(\bold{p} - \bold{q}))]도 (사소한 상수배인 [math((2 \pi)^3)]를 제외하면) 조화진동자에서 본 것이다. (학부 양자역학 시간 때 배우기로는 [math([a, a^\dagger] = 1)]인 것만 배웠는데, 일반적인 n차원 조화진동자 문제를 같은 방법으로 풀면 n개의 [math(a_i, a_i^\dagger)], 그리고 교환 관계 [math([a_i, a_j^\dagger] = \delta_{ij})]를 얻게 될 것이다. 이것의 일반화로 보면 될 것이다.) 사실 이로 미루어 볼 때 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]와 [math(a_{E_p, \bold{p}})]를 각각 생성자(creator)와 소멸자(annihilator)로 간주할 수 있을 것으로 보인다. 이때 조화진동자 문제에서 [math((a^\dagger)^n | 0 \rangle)]이 n번째 에너지 준위의 상태에 해당함이 이미 잘 알려져 있다. 이제 [math(\mathcal{H})]를 [math((a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle)]에 적용하면 어떤 결과가 나오는가를 보자. 조화진동자에서와 같이 우리는 모든 [math(\bold{p})]에 대해 [math(a_{E_p, \bold{p}} | 0 \rangle = 0)]라고 가정할 것이다. 그리고 [math([A, BC] = [A, B]C + B[A, C])]를 쓰려고 한다. 이를 통해 만약 [math([A, B] = c1)]로 [math(c)]가 어떤 수이면 [math([A, B^n] = cnB^{n - 1})]임을 알 수 있다.[* 미분과 비슷해 보이지 않은가? 실제로 바로 앞의 식이 다름 아닌 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)이다. 그리고 우리가 아는 그 미분은 라이프니츠 룰을 만족하는 선형 연산자로 추상화할 수 있다. 특히 미분기하학을 본다든가 쟈코비 항등식(Jacobi identity)을 본다드가 하면 리 대수는 미분의 추상화 중 하나로도 간주할 수 있다.] 이들을 이용해 보자. 다만 후술할 문제로 인해 먼저 [math(\mathcal{H})]의 첫 번째 항만 고려해 보자. [math(\displaystyle \left( \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} E_q a_{E_q, \bold{q}}^\dagger a_{E_q, \bold{q}} \right) (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle = \left( \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} E_q a_{E_q, \bold{q}}^\dagger a_{E_q, \bold{q}} (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n \right) | 0 \rangle)] [math(\displaystyle = \left( \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} E_q a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \left( (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n a_{E_q, \bold{q}} + \left[ a_{E_q, \bold{q}}, (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n \right] \right) \right) | 0 \rangle = \left( \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} E_q a_{E_q, \bold{q}}^\dagger \left( n (2 \pi)^3 \delta^3(\bold{p} - \bold{q}) (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^{n - 1} \right) \right) | 0 \rangle)] [math(\displaystyle = E_p a_{E_p, \bold{p}}^\dagger \left( n (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^{n - 1} \right) | 0 \rangle = nE_p \left( (a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle \right).)] 즉, [math((a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle)]는 다름 아닌 해밀토니안의 교유 상태이다. 특히 그 고유값, 즉 이 상태가 갖는 에너지는 (무시한 상수항을 제외하면) [math(nE_p)]와 같다는 것을 알 수 있다. 여기서 뭔가 짐작이 가지만 하나만 더 들여다 보자. 운동량 연산자를 이 상태에 적용해 보도록 하자. 운동량 연산자는 다음과 같이 써질 수 있음을 알 수 있다. [math(\displaystyle P_i = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_t \phi)} \partial_i \phi = \int d^3 x \left( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_t \phi)} \partial_i \phi \right))] [math(\displaystyle = -\int d^3 x \pi_\phi(x) \partial_i \phi(x).)] 이제 여기에 위에 적어둔 [math(\pi(x) = \pi_\phi(x))]와 [math(\phi(x))]를 대입하여 다음을 얻을 수 있다. [math(\displaystyle P_i = \int d^3 x \int \frac{d^3 p \; d^3 q}{(2 \pi)^6} \left( -i \sqrt{\frac{E_p}{2}} ( a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger ) e^{i \bold{p} \cdot \bold{x}} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2E_q}} ( a_{E_q, \bold{q}}(t) + a_{E_q, -\bold{q}}(t)^\dagger ) (iq_i) e^{i \bold{q} \cdot \bold{x}} \right))] [math(\displaystyle = \frac{1}{2} \int d^3 x \int \frac{d^3 p \; d^3 q}{(2 \pi)^6} q_i \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger \right) \left( a_{E_q, \bold{q}}(t) + a_{E_q, -\bold{q}}(t)^\dagger \right) e^{i (\bold{p} + \bold{q}) \cdot \bold{x}})] [math(\displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, -\bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t) + a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger \right))] [math(\displaystyle = \frac{1}{4} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, -\bold{p}}(t) - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t) + a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger \right))] [math(\displaystyle \;\; + \frac{1}{4} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} (-p_i) \left( a_{E_p, -\bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t) - a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, \bold{p}}(t) + a_{E_p, -\bold{p}}(t) a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger - a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger \right))] [math(\displaystyle = \frac{1}{4} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i [\left( \left[ a_{E_p, \bold{p}}(t), a_{E_p, -\bold{p}}(t) \right] - 2a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t) + 2a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger - \left[ a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger, a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger \right] \right))] [math(\displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i \left( a_{E_p, \bold{p}}(t) a_{E_p, \bold{p}}(t)^\dagger - a_{E_p, -\bold{p}}(t)^\dagger a_{E_p, -\bold{p}}(t) \right))] [math(\displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i \left( a_{E_p, \bold{p}} a_{E_p, \bold{p}}^\dagger + a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}} \right))] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i \left( a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}} + \frac{1}{2} \left[ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_p, \bold{p}}^\dagger \right] \right))] [math(\displaystyle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} p_i a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}}.)] 여기서 위와는 다르게 [math(p_i)] 때문에 적분 변수의 부호를 바꾸면 전체적으로 부호가 바뀌게 되는 셈이라는 것을 자주 사용했다는 것을 알아두자. 특히 마지막에 없어진 항은 사실 상수이며 여기서 방금 설명한 것을 적용시켜서 없앨 수 있다는 것을 알 수 있다. 아무튼 결과만 보면 위의 해밀토니안에서 얻은 결과와 (상수항을 제외하면) 완전히 같은 결과이다. 그래서 같은 이유로 [math((a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle)]는 고유값이 [math(np_i)]인 [math(P_i)]의 고유상태인 것을 알 수 있다. 결국 [math((a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle)]는 에너지와 운동량 모두에 대한 고유값임을 알 수 있다. 사실 식을 좀 더 들여다 보면 [math(\displaystyle a_{E_{p_1}, \bold{p}_1}^\dagger a_{E_{p_2}, \bold{p}_2}^\dagger a_{E_{p_3}, \bold{p}_3}^\dagger \cdots a_{E_{p_m}, \bold{p}_m}^\dagger | 0 \rangle)] 이 상태는 [math(\mathcal{H})]와 [math(P_i)] 모두의 공통 고유상태이며, 그 고유값은 각각 [math(E_{p_1} + E_{p_2} + \cdots + E_{p_m})], [math((\bold{p}_1)^i + (\bold{p}_2)^i + \cdots + (\bold{p}_m)^i)]임을 알 수 있다. 한편, 이로부터 다음은 분명하다. 상태 [math(a_{E_{p_1}, \bold{p}_1}^\dagger a_{E_{p_2}, \bold{p}_2}^\dagger \cdots a_{E_{p_m}, \bold{p}_m}^\dagger | 0 \rangle)]에 연산자 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]를 적용시켜서 얻은 상태는 물론 [math(\mathcal{H})], [math(P_i)] 모두의 공통 고유상태이며, 그 고유값은 에너지와 운동량이 각각 [math(E_p)], [math(\bold{p})]만큼 더 커진 상태인 것이다. 그리고 뭔가 '''하나 더''' 생긴 거고. 이로부터 물리학자들은 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]를 '''생성자(creator)'''라고 부른다. 그리고 이름 그대로 이 연산자는 해당 에너지와 운동량을 가진 입자 하나를 더 포함한 상태로 바꿔 주는 역할, 즉 '''입자를 만들어내는 연산자'''가 된다는 것이다. 한편, 앞에서 [math(a_{E_p, \bold{p}})]를 [math((a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)^n | 0 \rangle)]에다 적용한 걸 생각해 보면 (사실 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}})]를 적용했지만 사실 앞에서 우리가 한 것은 [math(a_{E_p, \bold{p}})]를 적용하고 정리한 결과에 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]를 갖다 붙인 것에 불과하다) [math(a_{E_p, \bold{p}})] 연산자는 [math(\left( a_{E_p, \bold{p}}^\dagger \right)^n)]의 지수를 하나 내려주는 역할을 한다고 볼 수 있다. 어떻게 보면 생성자로 생성시킨 것들 중에서 하나를 없애는 역할을 한다고 볼 수 있는 것. 그래서 물리학자들은 이 연산자를 가리켜 '''소멸자(annihilator)'''라고 부른다. 사실 앞서 말한 조화진동 시스템에서 붙인 이름들을 거의 그대로 가져온 셈. 여기에서 중요한 결론 하나를 내릴 수 있다. 앞서 강조한 것 중 하나로 [math(a_{E_p, \bold{p}}^\dagger)]와 [math(a_{E_p, \bold{p}})]가 각각 양의 에너지 해와 음의 에너지 해에 대응한다는 게 있었다. 고전적인 혹은 양자장론적 방법이 아닌 이전의 해석으로는 이들 모두가 어떤 물리적인 실체에 해당해야 하며 따라서 '양의 에너지를 가진 입자와 음의 에너지를 가진 입자 모두가 존재'해야 했다는 것이다. 그런데 양자장론적인 접근 방식에 따르면 이들 해는 단지 입자 수를 올려주고(creator) 내려주는(annihilator) 역할을 할 뿐이라는 것을 알 수 있다. 그리고 이때 해당하는 입자들은 전부 양의 에너지를 가지고 있다. 즉, 음의 에너지를 가진 입자가 들어설 여지가 사라져 버린 셈이다. 결론적으로 '''양자장론적 해석을 쓰면 음의 에너지 문제가 풀리는 걸 넘어서 아예 처음부터 존재하지 않게 되어 버리는 셈'''이 된다! 심지어 지금 우리가 다루고 있는 입자는 보손 입자로, 디랙의 바다 같은 걸 생각할 수 없는 상황이다. 후술하겠지만 물론 반정수 스피너 입자를 다룰 때에도 똑같은 결론이 나오긴 한다. 이렇게 해서 정수 스핀을 가진 입자도 상대론적으로 안전하게 다룰 수 있게 되었다. 이제 미뤄뒀던 이야기 하나를 해 보자. 해밀토니안 [math(\displaystyle \mathcal{H} = \int \dfrac{d^3 p}{(2 \pi)^3} E_p \left( a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}} + \dfrac{1}{2} [ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_p, \bold{p}}^\dagger ] \right))]에서 [math(\displaystyle \mathcal{H} = \int \dfrac{d^3 p}{(2 \pi)^3} E_p a_{E_p, \bold{p}}^\dagger a_{E_p, \bold{p}})]만 다뤘었다. 사실 당장 두 번째 항을 무시해도 괜찮다. 그러고 보면 [math([ a_{E_p, \bold{p}}, a_{E_p, \bold{p}}^\dagger ] = \delta^3(\bold{p} - \bold{p}) = \delta^3(0))]은 그냥 상수이고, 따라서 입자의 개수와는 전혀 관계 없는 값이다. 심지어 그냥 해밀토니안을 [math(| 0 \rangle)]에다 적용시켜도 살아있는 양이고. 아니, 오히려 [math(| 0 \rangle)]에 적용시키면 이 상수만 살아남는다. 그래서 이 상수로부터 오는 '에너지'를 진공이 기본적으로 갖는 에너지로 볼 수도 있을 것이다. 이를 '''진공 에너지'''라고 부를 건데, 문제가 있다. 그 값이 [math(\delta^3(0))], 즉 '''무한대'''인 것도 모자라 전 운동량 공간에 대한 삼중적분까지 해댄 값이다. 진공에 내재된 에너지가 무한대라는 이상한 결과가 나온 것이다. 뭐, 그래도 진공 그 자체의 에너지는 사실 별로 관심이 없고 입자들의 에너지에만 관심이 있으니 이런 이상한 값은 무시해도 될 것 같긴 하다. 실제로 표준모형에는 중력이 없고, 이로 인해 진공의 에너지는 물리적으로 별로 중요하지 않고, 실제로 표준모형은 잘 작동한다. 하지만 만약 중력을 포함하게 된다면 이 문제를 더 이상 무시할 수 없게 된다. 일반 상대성 이론에 따르면 에너지 분포는 시공간을 휘게 한다. 따라서 진공 에너지 자체도 시공간의 왜곡에 영향을 줄 것이기 때문이다. 그런데 지금 진공 에너지 자체는 말도 안 되는 값을 갖고 있어서 못 써먹을 수준이다. 다행히도 정규화(regularization) 기법을 잘 이용하면 무한대를 '적절히' 제거할 수 있긴 하다. 그래서 얻은 예측값은 관측으로부터 얻어진 진공 에너지의 10^^120^^배나 된다! 가히 '''역사상 가장 틀린 예측'''이다! 그래서 표준모형이 완성하고 양자중력을 찾으려고 하는 노력이 이어지면서 이 문제 역시 양자중력이 풀어야 할 숙제로 남게 된 것이다. 물론 (이 문서에서 다루려고 하는) 양자장론에서 이 문제는 별로 중요하지 않으므로 당장은 넘어가겠지만...저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기