문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 원(도형) (문단 편집) ==== 엄밀한 증명 ==== [math(\pi)]의 값을 표현하는 정적분을 이용하여 아래와 같이 증명하자. [math(\pi)]의 정의에 의하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \pi = \int^1_{-1} \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)]}}} 이다. 이때 피적분함수는 [math(y)]축 [[대칭함수]](even function)이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac\pi2 = \int^1_0 \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t)]}}} 로 나타낼 수 있다. 이제 반지름의 길이가 [math(r)]인 원판의 넓이를 [math(A)]라 하자. 그러면 [math(A)]는 4분원의 4배이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} A &= 4\int^r_0y\,{\rm d}x \\ &= 4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \end{aligned})]}}} 로 표현할 수 있다. 부분적분 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac A4 &= \int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \\ &= \biggl[x\sqrt{r^2-x^2}\biggr]_0^r + \int_0^r\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2-(r^2-x^2)}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r{\left(\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-\sqrt{r^2-x^2}\right)}\,{\rm d}x\end{aligned})]}}} 이다. 적분의 선형성에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac A4 &= \int_0^r{\left(\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-\sqrt{r^2-x^2}\right)}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x - \int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,{\rm d}x \\ &= \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x - \frac A4\end{aligned})]}}} 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac A2 = \int_0^r\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x)]}}} 이다. 이 때 [math(x=rt)]로 치환하면 [math({\rm d}x=r\,{\rm d}t)]이고, 적분구간은 [math([0,\,r])]에서 [math([0,\,1])]로 바뀐다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac A2 &= \int^r_0 \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,{\rm d}x \\ &= r^2\int^1_0 \frac r{\sqrt{r^2-(rt)^2}}\,{\rm d}t \\ &= r^2\int^1_0 \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,{\rm d}t \\ &= \frac\pi2r^2\end{aligned})]}}} 따라서 [math(A=\pi r^2)]이고 반지름의 길이가 [math(r)]인 원판의 넓이는 [math(\pi r^2)]임을 알 수 있다. 이렇게 함으로써 원주율 정적분을 계산하지 않고도 원판의 넓이와 원주의 관계를 증명할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기