문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 이동문서 삭제토론 음수(수학) (문단 편집) == 음수 곱하기 음수는 왜 양수일까? == 중등수학 수준에서 직관적인 설명은 [[해석적 연속|음수를 빼면 더하기가 된다는 개념을 확장하는 것]][* 그 결과로 나오는 것이 흔히 말하는 [[일차함수]]다.]이다. 즉, 2×3은 2를 3번 더하는 것이라면( [math(2 \times 3 = 2+2+2 = 6)] ) 2×(-3)은 2를 3번 빼는 것이고( [math(2 \times (-3) = -2 -2 -2= -6)] ) 그렇다면 (-2)×(-3)은 -2를 3번 빼는 것이므로 결과적으로는 6이 더해지게 된다.( [math((-2) \times (-3) = -(-2) -(-2) -(-2) = 2 +2 +2 = 6)] ) 회계 장부에 빗대 설명할 경우 예를 들어 [[빚|부채]] 20원을 3번 제거하면( [math((-20) \times (-3))] ) [[순자산]]은 60원 늘어나는 것이다. 정말 원론적인 이유는 [[공리#s-1|그렇게 하라고 정했기 때문]]이긴 하다. 다시 말해서 음수 곱하기 음수가 무조건 양수가 되어야 하는 이유는 어디에도 없다. 음수 곱하기 음수가 음수인 수학의 세계를 만드는 것도 불가능하지 않다. 그러나 그런 수학은 매우 복잡해지며, 역시 '음수 곱하기 음수는 양수'로 약속하는 편이 제일 속이 편하다. 수 체계나 연산법칙이 확장되는 과정은 보통 '기존의 법칙을 잘 만족시키며 일반화할 수 있는 체계'를 목표로 한다. 고상하게 말하면 [[수학교육학]]에서 Peacock의 "형식 불역의 원리"(principle of the performance of equivalent forms)라 부르는 이름이 있긴 하지만[* 형식불역의 원리의 다른 예로는 중2 과정에 나오는 [[지수(수학)|지수]]의 확장을 적용하는 방식이 있다.] 그게 중요한 건 아니고, 간단히 말하면 '''[[결합법칙]], [[교환법칙]], [[분배법칙]]을 비롯한 사칙연산의 성질들은 [[해석적 연속|음수에 대해서도 성립해야 한다]]'''는 것이다. 이것을 고려하면 [[분배법칙]]을 이용해 [math((-1) \times (-1)=1)]을 다음과 같이 이해할 수 있다. 만약 [math(1 + (-1) = 0)]이 맞다면, 1을 곱하면 [math(1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0)]이다. 한편 -1을 곱하면 [math( (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0)]이다. 둘을 비교하면 [math((-1) \times (-1)=1 \times 1 = 1)]일 수밖에 없다. [* 이 설명도 엄밀하지 않다고 느껴지는 수학 전공자들은 [[수 체계]] 문서에서 정수의 구성방법을 참고해도 좋다. 다만 수학 전공자가 아닌 이상 전혀 쓸모없는 내용임을 감안하자.] 하지만 이 형식적 설명만 갖고는 학생들에게는 별로 도움이 되지 못한다. 그렇다고 음수에 대한 직관적 모형을 생각하자니, 보통 쉽게 떠올리는 음수에 대한 직관적 모형인 [[수직선]]의 왼쪽이란 개념으로 음수의 곱셈을 설명하긴 매우 곤란하다. 이 문제 때문에 (음수)×(음수)=(양수)를 설명하는 건 은근히 골때리는 문제로, 두 가지를 조화시키기 위해 수학교사들은 지금도 수많은 노력을 하고 있다. 실생활에서의 활용 문단에서 상술했다시피 일반적으로 반대 성질의 대상을 나타내기 위해 음수를 사용한다. (음수)×(음수)=(양수)보다 비교적 직관적으로 받아들이기 쉬운 (양수)×(음수)=(음수)에서 '음수를 곱하는 것'을 '대상의 성질을 반대로 뒤집는 것'으로 이해한다면 '어떤 것과 반대되는 것의 반대되는 것은 원래의 어떤 것과 같다.'를 통해 (음수)×(음수)=(양수)라고 받아들일 수 있다. 기하적으로 직관적인 설명은 [[복소평면]]을 이용하는 것이다. [[허수|허수단위 [math(i)]]]에 대해서 [math(i^2 = -1)]이 성립하고, [math(i)]를 곱하면 좌표가 원점 기준 반시계 방향으로 90도 회전하는 성질을 이용하면 [math((-1) \times (-1) = (-1)\times i \times i = 1)]이 성립함을 보일 수 있다. 물론 엄밀히 말하자면 복소평면으로 설명한다면 이해하기만 쉬운거지 음수와 벡터값은 정의가 다르기 때문에 수학적으로는 틀린 설명이다. 애초에 복소평면을 이용하여 유도한 법칙 같은게 아니며 역사적으로 보면 오히려 (음수)×(음수)=(양수)이기 때문에 음수의 제곱근을 표현하기 위해 허수와 복소수의 개념이 만들어졌다. [[파일:90-Degree_Rotations_in_the_Complex_Plane.png]] [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3566932&cid=58944&categoryId=58970|네이버캐스트 오늘의 과학 "-1×-1=1인 이유는?"]] [[https://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=66417257|동 캐스트의 질의응답. 여러 가지 방법들이 잘 정리되어 있다]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기