문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 음파 (문단 편집) ==== [[오일러 방정식]] ==== 아래 그림과 같이, 단면적 [math(\displaystyle S )]를 가지는 임의의 원형 관(duct)의 내부에서, 임의의 유체가 비점성 . 압축성 유동하는 물리 형태를 가정하자. 이 유체의 흐름이 압축성 유동이므로, 검사 체적 내 유체 입자의 밀도는 일정한 상수가 아니며 시간과 공간에 따라 연속적으로 변화하는 것으로 한다. ([math(\displaystyle \therefore \rho≠constant. )]) [[파일:euler's equation.png|width=100%]] 여기서 [math(\displaystyle \rho )]은 유동하는 유체의 밀도(density), [math(\displaystyle \mathbf{u} )]은 유동하는 유체의 유체 입자 속도(fluid particle velocity)이며 [math(\displaystyle S )]은 관의 단면적, [math(\displaystyle P )]는 각각 [math(\displaystyle x, x+Δx )]의 면적으로 인가되는 압력이다. 검사 체적은 위의 사진 기준 [math(\displaystyle x)]부터 [math(\displaystyle x+Δx)]까지인 것으로, 즉 [math(\displaystyle Δx)]인 것으로 한다. 이제 거리 [math(\displaystyle x)]와 [math(\displaystyle x+Δx)]에서 [math(\displaystyle \rho \mathbf{u}^2S)]만큼의 운동량 유동이 발생한다고 하자. 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]로 유입되는 운동량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x})], 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 외부로 유출되는 운동량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx})]라 한다면, '''검사 체적 [math(\displaystyle Δx)] 내의 운동량 차이'''는 두 방향 유동 운동량의 차이 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx})]가 된다. 또한 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 표면 [math(\displaystyle S )]에 작용하는 힘을 [math(\displaystyle PS )]라 정의한다면, 이 힘은 두 방향 검사 체적의 끝에서 각각 [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x})], [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x+Δx})]로 작용한다. 결과적으로 두 방향으로 작용하는 '''알짜힘(인가되는 힘의 차이)''' 또한 [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x}-\left. PS \right|_{x+Δx})]로 기술된다. 따라서 단위 시간당 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)] 내의 운동량 변화는, 검사 체적의 각 끝에서 발생하는 '''운동량의 차이'''와 검사 체적에 작용하는 '''알짜힘'''을 합한 것이다. 이를 아래와 같이 시간에 대한 운동량의 미분꼴로 정의하자. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}SΔx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx}+\left. PS \right|_{x}-\left. PS \right|_{x+Δx})]}}}|| 여기서 관의 단면적 [math(\displaystyle S )]는 상수이므로, 변화량이 없기에 미분하면 0이 된다. 따라서 양 변의 각 항에 모두 포함되어 있는 [math(\displaystyle S )]는 약분하여 아래와 같이 정리할 수 있다. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u} Δx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx})]}}}|| 또한 좌변의 편도함수에 포함되어 있는 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]도 상수이므로, 삭제할 수 있다. 양 변에 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 역수 [math( \dfrac {1}{Δx})]를 곱하여 좌변 도함수의 [math(\displaystyle Δx)]를 소거하자. 그러면 위 식은 아래와 같이 '''평균 변화율'''의 꼴이 된다. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx})]}}}|| 이제 위 식에서, 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]가 아주 작은 거리임을 가정하자[* 유체 입자의 가장 순간적인 변위를 고려하기 위해서.]. 그러하면 위 식의 우변은 극한 [math(\displaystyle \lim_{Δx\to 0}{f(x)})]이 취해진 꼴로 다시 기술될 수 있다. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx}})]}}}|| 극한의 분배 성질을 이용하여, 우변의 극한을 각각 유동 운동량의 치이와 작용하는 알짜힘을 종속항으로 가지도록 분배하여 정리하자. 그러면 아래의 식을 얻는다. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}}{Δx}}+\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx}})]}}}|| 이때 위 식 우변 극한항의 두 종속항은 도함수 정의의 역꼴이므로, 이를 음의 도함수로 고쳐 다시 쓸 수 있다.[* 원래 도함수의 정의에서는 증분이 포함되어 있는 함수항 [math(\displaystyle f(x+Δx))]이 선행하여야 하지만, 위의 상황에서는 증분이 포함되지 않은 원함수항 [math(\displaystyle f(x))]이 선행하였다.] ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=-\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}-\dfrac{\partial (P)}{\partial x})]}}}|| 위 식에서, 우변 [math(\displaystyle -\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}-\dfrac{\partial (P)}{\partial x})]을 이항하여 부호를 다시 정의하면 ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}+\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}+\dfrac{\partial (P)}{\partial x}=0)]}}}|| 임을 얻고, 각 도함수를 전개하면 ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial x}+\rho \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial P}{\partial x}=0)]}}}|| 임을 얻는다. 아래 후술할 '''질량에 대한 연속 방정식'''에 따라, 위 식의 항 [math(\displaystyle \mathbf{u} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial x})]은 0이므로, 삭제하여 방정식에서 제외시킨다. 그러면 최종적으로 아래와 같은 '''비선형 오일러 방정식(nonlinear Euler's equation)'''이 유도된다. ||{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial P}{\partial x}=0)]}}}||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기