문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 입체각 (문단 편집) === 스테라디안을 단위로 하는 경우 === [[호도법]]에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 [math(l)]인 부채꼴의 반지름이 [math(r)]일 때, 각 [math(\theta)]는 다음과 같이 정의된다. || [math(\underline\theta=\dfrac lr)] || 특히, 반지름이 1인 단위원에서 각의 수치는 결국 호의 수치와 같다. 그리고 [[원주율|반원에 대한 각]]은 아래와 같이 계산할 수 있다. || [math(\begin{aligned} \displaystyle \pi &\equiv \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &\Leftrightarrow \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})] || 이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(\Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라. || [math(\underline\Omega=\dfrac A{r^2})] || [[파일:나무_입체각_정의.png|width=200&align=center]] 단위인 [[스테라디안]]([math(\rm sr)])은 [[라디안]]이 호도법의 각임을 명시하는 기능이 있는 것처럼 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(\pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(\rm\pi\,rad)])인지, 입체각([math(\rm\pi\,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다. 호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 1이라면, 입체각의 수치는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다. [[차원(물리량)|차원]]이 [math({\sf L}^2)]으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 [[무차원량|차원이 없다.]] [math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0\underline\alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. [[파일:나무_부채꼴회전체_수정.png|width=70&align=center]] 중심각 [math(\theta)]가 [math(\theta=\alpha)]인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\underline\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({\rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0\,{\rm d}\underline\theta)], [math(r_0\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({\rm d}A = {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다. || [math(\displaystyle \begin{aligned}A &= \iint_A\,{\rm d}A \\&= \iint_A {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\&= \int_0^{2\pi}\int_0^{\underline\alpha} {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\ &= 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})] || 정의에 따라 입체각은 || [math(\begin{aligned} \underline\Omega&=\dfrac A{ {r_0}^2} \\&=2\pi(1-\cos\underline\alpha) \\&= 4 \pi \sin^2\dfrac{\underline\alpha}2 \end{aligned})] || 이고 역시 입체각에 [[무차원량|차원이 없음]]을 확인할 수 있다. [math(\underline\alpha=\pi)]인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 [math(\rm4\pi\,sr)]이 된다. [math(\Omega = 1\,\rm sr)]이 되게 하는 각 [math(\alpha)]의 값은 다음과 같다. || [math(\begin{aligned}\alpha &= \underline\alpha{\rm\,rad} \\ &= \arccos{\left(1-\dfrac1{2\pi}\right)}{\rm\,rad} \\&= 2\arcsin\dfrac1{2\sqrt\pi}{\rm\,rad} \\ &= 2i \operatorname{Log}\left( \dfrac{i}{2 \sqrt{\pi}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{4 \pi}} \right){\rm\,rad} \\ &\fallingdotseq 0.57195\,{\rm rad} \\ &\fallingdotseq 32.7705\degree\end{aligned})] || 중간에 [[허수|허수단위 [math(i)]]]와 분지 절단(branch cut)을 한 [[복소로그함수]]([math(\rm Log)])가 나오는 이유는 이 값이 [[환원 불능]](casus irreducibilis)이기 때문이다. 나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, [math(A)]를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 [math(V)]가 나오는데 || [math(\begin{aligned}V &= \int_0^rA\,{\rm d}r_0 \\&= \int_0^r 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\,{\rm d}r_0 \\ &= \dfrac23\pi r^3(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})] || 위 식에서 [math(\underline\alpha = \pi)]를 대입하면 구의 부피 [math(4 \pi r^3/3)]이 나온다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기