문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 입체각 (문단 편집) ==== 분석 ==== 이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(\rm O)]라고 하자. 우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 1인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자. [[파일:나무_평면각_구하는법_수정.png|width=200&align=center]] 그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자. [[파일:나무_입체각_구하는법.png|width=200&align=center]] 이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({\rm d}\Omega)]를 고려하자. [[파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png|width=185&align=center]] 즉, [math({\rm d}\underline\Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({\rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({\rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(\bf\hat n)]이라 하자. 면적소 [math({\rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(\bf\hat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({\rm d}a')]은 [math({\rm d}a)]의 정사영이므로 || [math({\rm d}a'={\rm d}a\cos({\bf\hat n},\,{\bf\hat r}))] || 으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\bf(\hat n,\,\hat r))]는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면 || [math({\rm d}a'=({\bf\hat n}\cdot{\bf\hat r})\,{\rm d}a)] || 이고, [math({\bf\hat n}\,{\rm d}a\equiv{\rm d}{\bf a})]이므로 || [math({\rm d}a'={\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a})] || 로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해 || [math( \begin{aligned} {\rm d}\underline\Omega&=\dfrac{{\rm d}a'}{r^2}\\&=\dfrac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2} \end{aligned})] || 로 쓸 수 있으므로, 곡면 [math(S)]에 대한 입체각은 || [math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2})] || 로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 [math(\rm O)]가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 [math(\bf v)]가 원점에서부터 [math(\rm O)]까지의 위치 벡터라면, [math(\bf r\to r-v)]이므로 || [math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{({\bf r-v})\cdot{\rm d}{\bf a}}{|{\bf r-v}|^3})] || 도 성립한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기