문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연로그 (문단 편집) === 무한급수 === [math(e^x)]을 [[테일러 전개]]한 식에 [math(x=1)]를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 [[이항정리]]를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다. [math(t\to0)]인 극한식에서 [math(t=n^{-1})]으로 치환해주면 [math(n\to\infty)]이며 지수가 [math(n)]으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{1/t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!{\cdot}n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}\cdots{\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}}{r!}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}}{2!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n{\left(1-\frac{r-1}n\right)}}{n!}\right\} \\ &=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})] || 한편, 자연로그에 관한 무한급수는 다음과 같이 전개된다. 로그 안에 들어가는 수가 [math(x)]가 아닌 [math(x+1)]임에 주의. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \ln\left(x+1\right) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots \quad (-1<:> [math(\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \quad (x >1))]||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기