문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연로그 (문단 편집) ==== 특수한 함수의 극한 ==== 다음 극한을 고려해보자. ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} )] || 식을 변형하면, 아래와 같은 극한 값을 얻는다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x}}\ln{(x+1)} \\&=\lim_{x\to 0}{\ln{(x+1)^{1/x}}} \\ &=\ln{\left[ \lim_{x\to 0}{(x+1)^{1/x}} \right]} \\ &=\ln{e} \\&=1 \end{aligned} )] || 식의 전개에서 로그의 성질 및 [math(e)]의 극한을 사용한 정의를 사용했다. 또 다른 극한 ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} )] || 의 경우 위 결과에서 로그의 밑이 [math(e)]에서 [math(a)]로 바뀐 형태이므로 따로 계산해보지 않더라도 그 결과를 아래와 같이 쓸 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}}&=\log_{a}{e} \\&=\frac{1}{\ln{a}} \end{aligned})] || 위 결과를 사용하여 ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} )] || 를 구해보자. [math(e^{x}-1=t)]로 치환하면 [math(x \to 0)]일 때, [math(t \to 0)]이고, [math(x=\ln{(t+1)})]이므로 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} &=\lim_{t\to 0}{\frac{t}{\ln{(t+1)}}} \\ &=\frac{1}{\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln{(t+1)}}{t}} \\ &=1 \end{aligned} )] || 임을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 극한 식이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보자 극한 식을 ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}} )] || 형태로 쓰면, 곧 이것은 함수 [math(y=e^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같은 것임을 알 수 있다. 같은 방법으로 [math(a^{x}-1=t)]의 치환을 통해 ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln{a} )] || 임을 얻을 수 있고, 이 또한 함수 [math(y=a^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같다. 이상의 문단을 정리하면 아래와 같다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} &=\frac{1}{\ln{a}} \\ \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}&=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}&=\ln{a} \end{aligned} )] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기