문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 정상파 (문단 편집) === 현의 진동 === 정상파를 쉽게 볼 수 있는 것은 현이다. [[파일:namu_정상파_현의진동.png|width=380&align=center]] 그림과 같이 두 벽 사이에 선밀도(단위 길이당 질량)가 [math(\mu)]이고, 길이가 [math(l)]인 현을 고려하자. 문제를 간단히 하기 위해 다른 힘과 마찰 등은 고려하지 않는다.(단, 줄에 장력이 작용하지 않을 경우 진동 효과가 크지 않으므로 장력은 고려해줘야 한다.) 1차원 파동 방정식은 다음과 같이 기술된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\qquad \left(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \right) \end{aligned} )] }}} [math(v)]는 파동의 속력이다. [math(T)]는 줄에 작용하는 장력이다. 파동이 시간에 따라 진동할 것으로 보이므로 그 시험해 [math(y(x,\,t)=f(x)e^{-i \omega t})]을 대입해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}x^2}=\frac{-\omega^2}{v^2}f\end{aligned} )] }}} 한편, [math(\omega/v = k)]로 파수이므로 공간에 대한 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}x^2}=-k^2f\end{aligned} )] }}} 이 [[미분방정식]]의 해는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)} \end{aligned} )] }}} [math(A)], [math(B)]는 상수이다. 벽에 닿은 점은 진동할 수 없으므로 그 경계 조건 [math(f(0)=f(l)=0)]을 적용하자. 이것에 따르면, [math(B=0)]이어야 하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} A\sin{(kl)}=0 \end{aligned} )] }}} 을 만족시켜야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} kl=n\pi \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )] }}} 이다.[* 파수와 현의 길이는 양수이므로 음수가 될 수 없으므로 [math(n)]이 음의 정수는 될 수 없다. 또한 둘 중 하나가 0인 상황은 물리적 상황과 거리가 머므로 [math(n)]이 0도 될 수 없다.] 한편, [math(k=2\pi/\lambda)]인 점을 고려하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda_{n}=\frac{2l}{n} \end{aligned} )] }}} 만 가능하다. 매질이 같다면 파동의 속력은 동일해야 하므로 파장이 1배, 2배, 3배로 줄어들면, 진동수는 1배, 2배, 3배로 늘어난다. 따라서 [math(n)]일 때, '[math(n)]배 진동'이라 한다. 또한 [math(n=1)]일 때를 기본 진동이라 하며, 그 때의 진동수를 기본 진동수 [math(f_{0})]로 쓴다. 따라서 [math(f_{n}=n f_{0})](단, [math(n \geq 2)]) [[파일:namu_정상파_현의진동_모식도.png|width=410&align=center]] 따라서 이 계의 파동함수는 실수부만 취하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\,t)&=A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{A}{2}\sin{(kx-\omega t)}+\frac{A}{2}\sin{(kx+\omega t)} \end{aligned} )] }}} 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 썼다. 따라서 현에 형성된 파동은 해당 파동의 절반의 진폭을 갖고, 서로 반대 방향으로 진행하는 파의 합성파, 즉, 정상파가 형성된다는 사실을 알 수 있다. 또한 마디의 위치는 공간 성분이 0인 곳에 나타나므로 [math(n)]배 진동에서 [math(m)]번째 마디의 위치는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x_{m}=\frac{m}{n}l \qquad \end{aligned} )] }}} 이때, [math(0 \leq m \leq n)]인 정수이고, [math(m=0)], [math(m=n)]은 벽의 위치이므로 항상 마디가 된다. 마지막으로 [math(n)]번째 진동수를 구하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f_{n}&=\frac{v}{\lambda_{n}} \\&=\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \\&=nf_{0} \qquad \biggl( f_{0}\equiv \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \biggr) \qquad \end{aligned} )] }}} 한편, 장력의 크기가 [math(T=Mg)]([math(M)]은 현에 건 추의 질량)이고, [math(m)]이 실의 질량, [math(L)]이 '''실 전체의 길이'''라면, [math(\mu=m/L)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f_{0}\equiv \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{MgL}{m}} \end{aligned} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(l)]은 진동 영역 길이인 점에 유의하자. 빠르면 고등학생, 이공계 학부 때 해당 실험을 해보게 된다. 대체적으로 아래와 같이 실험 장비를 구성하여 실험을 하는 편이다.[* 정상파 형성만 원하는 경우에는 풀리(도르래)나 추 없이도 적절하게 줄을 팽팽하게 한 것으로 대체 가능하다.] || {{{#!wiki style="margin: -6px -10px -5px" [[파일:namu_현의진동_실험장치_NEW_NEW.svg|width=700&align=center]]}}} || 아래는 실험 영상이다. || {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [youtube(-gr7KmTOrx0)]}}} || [[현악기]]는 이러한 수많은 정상파가 모여 아름다운 소리를 우리에게 들려주게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기