문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 정상파 (문단 편집) === 관내 진동 === [[파일:namu_관의 진동_예시_NEW.png|width=250&align=center]] 정상파를 쉽게 볼 수 있는 또다른 예는 관이다. 이때 관에서는 공기 분자의 진동, 즉, 음파의 정상파의 형성이 된다. 음파의 파동 방정식은 현과 비슷하게 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\qquad \left(v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \right) \end{aligned} )] }}} [math(\rho)]는 공기의 밀도, [math(B)]는 부피 탄성 계수이다. 또한 [math(y(x,\,t))]는 미소 공기 기둥이 관의 단면적의 수직으로 움직인 변위이다. 유도가 필요하다면 [[https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/sound-wave-equation.htm|이곳(영어)]]을 참고한다. 관내 진동은 양쪽이 모두 열린 '''열린 관(개관)''', 한쪽이 닫힌 '''닫힌 관(폐관)''' 두 케이스가 있다. 양쪽이 모두 닫혀서는 진동을 만들 수 없으므로 그 경우는 생각하지 않는다. 또한 [[음압]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} P=-B\frac{\partial y}{\partial x} \end{aligned} )] }}} 로 구할 수 있다. 이것은 위에 첨부한 사이트에서 이유를 알 수 있다. '''[1] 열린 관''' 길이가 [math(L)]인 열린 관의 경우 양쪽의 음압[* 음압이란 것은 공기 분자들의 요동에 의한 총 압력에서 요동이 없을 때의 압력, 즉 대기압을 빼준 값으로 정의함에 유의하자.]이 0이 돼야 한다. 다시 말하면, 열린 관의 양 끝의 총 압력은 대기압과 같다. 열린 관의 양 끝은 대기압과 맞닿아 있으므로 공기 분자는 진동 할 수, 즉 분자 자체의 운동을 가로막는 벽이 없으므로 분자 자체는 움직일 수 있으나, 분자의 요동으로 인한 압력은 양 끝의 기압인 대기압으로 유지되어야 한다. 이것이 현의 진동과 약간 다른 부분이다. 현의 진동에서 "벽"의 역할을 대기압이 한다고 생각하면 된다. 이것을 만족시키려면 양 끝에서 [math({\partial y}/{\partial x}=0)]이어야 한다. 현의 진동과 마찬가지의 방법을 통하여, 다음을 얻는다. (단, [math(y=f(x)e^{-i \omega t})]) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)} \end{aligned} )] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} f'(x)=Ak \cos{(kx)}-Bk\sin{(kx)} \end{aligned} )] }}} 이므로 [math(x=0)]에서 [math({\partial y}/{\partial x}=0)]을 만족시키려면 [math(A=0)]이어야 한다. 더불어 [math(x=L)]일 때, 마찬가지의 조건을 만족시키려면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} k_{n}=\frac{n \pi }{L}\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )] }}} 이상에서 열린 관에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\, t)&=B\cos{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{B}{2}\cos{(kx-\omega t)}+\frac{B}{2}\cos{(kx+\omega t)} \end{aligned} )] }}} 이므로 이 파동 또한 서로 반대 방향으로 움직이는 파동이 중첩된, 즉 정상파가 형성되었음을 알 수 있다. 한편, 파장 [math(\lambda=2\pi k)], 진동수 [math(f=kv/2\pi )]임을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda_{n}&=\frac{2L}{n}\\ f_{n}&=\frac{v }{2L}n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )] }}} 이상의 결과를 시각화하면 아래와 같다. || [[파일:namu_정상파_관의진동_열린관.png|width=550&align=center]] || 적색 곡선은 최대 변위를 나타낸 것이고, 청색 곡선은 음압을 나타낸 것이다. 대부분의 참고서에서 등재되는 것은 적색 곡선인 최대 변위 곡선으로, '''열린 관에서는 양끝은 적색 곡선을 기준으로 항상 배가 만들어진다.''' '''[2] 닫힌 관''' 닫힌 관에서 막힌 쪽은 공기 분자의 진동이 불가능하므로 [math(x=0)]에서 관이 막혀있다면, 경계 조건으로 [math(f(0)=0)]을 적용하여야 한다. 열린 쪽 [math(x=L)]에서는 열린 관의 경우와 그 경계 조건이 [math(f'(L)=0)]로 같다. 이것이 가능하려면 다음이 성립해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} B&=0 \\ \tilde{k}_{n}&=\frac{(2n-1)\pi}{2L} \\ \tilde{\lambda}_{n}&=\frac{4L}{2n-1} \\\tilde{f}_{n}&=\frac{v}{4L} \cdot (2n-1) \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \end{aligned} )] }}} [math(\tilde{\,\,})]는 열린 관과 비교하기 위해 붙인 것이다. 열린 관은 파장과 진동수 모두 기본 진동의 1배, 2배, 3배, [math(\cdots)]로 각각 줄어들고 늘어나나 '''닫힌 관의 경우 홀수 배(1배, 3배, 5배, [math(\cdots)])로 줄어들고 늘어난다.''' 또한 기본 진동에 대하여 같은 길이의 닫힌 관과 열린 관을 비교하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tilde{\lambda}_{1}&=2 \lambda_{1} \\ \tilde{f}_{1}&=\frac{1}{2} f_{1} \end{aligned} )] }}} 이상을 시각화하면 아래와 같다. || [[파일:namu_정상파_관의진동_닫힌관.png|width=550&align=center]] || 적색 곡선을 기준으로 '''닫힌 관에서는 막힌 쪽은 마디가, 뚫린 쪽은 배가 만들어진다.''' 파동함수의 형태는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y(x,\, t)&=A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)} \\&=\frac{A}{2}\sin{(kx-\omega t)}+\frac{A}{2}\sin{(kx+\omega t)} \end{aligned} )] }}} 으로, 정상파의 정의와 부합한다. [[관악기]] 또한 비슷하게, 공기 분자 즉, 종파의 정상파가 형성되어 아름다운 소리를 내어준다. 고등학교 시절 관에서 형성되는 정상파를 처음 배웠을 때 음파 즉, 종파의 정상파를 다룸에도 횡파의 방식을 빌려 표현할 수 있었던 이유가 여기에 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기