문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 정적분 (문단 편집) == 정적분 기호의 초등적 의미 == 이 문단의 설명은 '''상당히 초등적'''이어서 고등학교 과정 내에서만 적용되고, '''학부 과정 이후는 모두 포괄하지 못함에 유의하자.''' [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]의 의미를 제대로 이해해야 한다. 흔히, [math(\int_{a}^b \cdots \,{\rm d}x)]를 하나의 덩어리로 삼고 이것을 ''''이 사이에 들어간 함수를 [math(\boldsymbol a)]부터 [math(\boldsymbol b)]까지 정적분''''하라는 단순한 기호로 알고 넘어가곤 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)\, {\rm d} x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \end{aligned} )]}}} 대체 왜 좌변의 식이 우변과 같이 표현될까? 우선, [math(\int)]의 진정한 속뜻부터 이해하자. 적분하라는 뜻으로만 받아들여서는 안 된다. 먼저, 단어에도 어원이 있듯이, 기호 [math(\int)]은 근원 자체가 알파벳 S를 길게 늘어뜨린 것이고, 이 S는 영어 sum의 머리글자이며, sum은 '''합'''([[合]])이라는 뜻이다. 왜 갑자기 합이 나올까? 적분의 '적'은 [[積]](쌓을 적)이다. 적분이란 그냥 미분의 역연산인 게 아니라 본디는 도형을 잘게 잘라서 그 조각들을 쌓아올려 모두 '''합'''하는 계산이다. [[미적분의 기본정리]] 때문에 미분과 적분이 서로 역연산이라는 사실[* 더욱 더 정확히는, '정적분'의 계산 과정에서 미분의 역연산을 사용할 수 있다는 사실. 그것이 바로 [[미적분의 기본정리]]이다.]이 추후 밝혀진 것이지, 처음부터 "미분이라는 연산이 있다. 이제 미분의 반대를 적분이라고 하자." 해서 적분이 나온 게 아니다.[* 실제로 미분은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]과 [[고트프리트 폰 라이프니츠|라이프니츠]]가 자기가 원조라고 주장하였을 정도로 언제 나왔는지 확실하게 밝혀진 반면, 적분은 위의 [[#s-2|역사 문단]]에서 보듯 [[고대 이집트]]에서부터 시작되었고, [[아르키메데스]]가 [[구(도형)|구]]의 부피가 지름과 높이가 같은 [[원기둥]]의 [math(2/3)]임을 밝히는 데 구분구적법을 써먹었다는 기록이 있을 정도로 오래됐다.] 그런 만큼 적분을 단순히 미분의 역연산으로만 생각하면 안 된다. 정적분의 정의에 등장하는 [math(\sum_{k=1}^n)] 역시 '''합'''하는 계산이다. 요컨대 [math(\int)]이라는 기호는, 정적분의 정의에서 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n)] 이 부분이 너무 복잡하니까 줄인 것이다. 다음으로 [math(f(x_k))]와 [math(f(x))]를 보자. [math(k)]는 갑자기 어디로 갔을까? 앞서 말했듯이 [math(x_k)]는 공차가 [math({(b-a)}/{n})]인 등차수열이다. 그런데 [math(n)]이 무한히 커지면 공차는 0에 수렴한다. 그 말은, 등차수열 [math(x_k)]의 항들이 닫힌 구간 [math([a,b])]에서 더 이상 이산적이지 않고 연속적으로 늘어서게 된다는 것이다. 이산적으로 늘어서 있다면 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에 있는 수열 [math(x_k)]의 특정한 항이 몇 번째 항인지 말할 수 있으나 공차가 0에 수렴해 버리면 몇 번째라고 말할 수 없다. 0과 1 사이의 실수 중에서 0.5가 몇 번째로 큰지 말할 수 없는 것과 같다. 그러니 [math(f(x_k))]에서, 몇 번째인지를 말하는 [math(k)]가 빠져 버리고 [math(f(x))]만 쓰는 것이다. 마지막으로 [math(\Delta x)]와 [math({\rm d}x)]를 보도록 하자. 분할의 개수가 매우 증가하여 [math(\Delta x)]가 극히 작아짐에 따라 해당 수는 [[무한소]]로 취급할 수 있게 되고, [math(\Delta x \to {\rm d}x)]로 취급하는 것이다. 정적분이 합의 계산이라는 점은 다음 식에서 극명하게 드러나는데, 적분식의 [math({\rm d}x)]를 [[최대 정수 함수|[math({\rm d}\lfloor x \rfloor)]]]로 바꾸면 극한 기호와 [math(\Delta x)]가 없어져서 완전히 합으로만 표현된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \sum_{k=a}^b f(k) = \int _{a}^b f(x) \,{\rm d} \lfloor x \rfloor)]}}} 이제 [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]의 뜻을 한꺼번에 해석해 보자. 어떤 도형을 무한히 많은 직사각형들로 분할하면 한 직사각형의 높이 [math(f(x))]와 밑변의 길이 [math({\rm d}x)]를 곱해서 나오는 한 직사각형의 넓이 [math(f(x)\,{\rm d}x)]가 나오는데, 이 수많은 [math( {f(x)\,{\rm d}x})]들을 모두 더하라([math(\int)])는 뜻이다. 이 일련의 과정에, '''정적분'''이라는 이름을 붙인 것이다. 이런 딱지를 붙였기에 '''결과적으로는''' [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]가 [math(f(x))]를 [math(a)]부터 [math(b)]까지 정적분하라는 뜻이 되는 셈이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기