문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 집합 (문단 편집) === 곱집합 === {{{+1 곱[[集]][[合]] / product set }}} 여러 집합의 각 원소들로 이루어진 '''[[순서쌍]]'''의 집합. 두 개의 집합 [math(A)], [math(B)]가 있을 때 '[math(A)]와 [math(B)]의 곱집합'은 [math(A\times B=\{(a,\,b)|a\in A)] 그리고 [math(s\in X\})]로 쓰인다. 예를 들어 [math(A=\{0,\,1\})] 이고 [math(B=\{2,\,3,\,4\})]이라면 [math(A\times B=\{(0,\,2),\,(0,\,3),\,(0,\,4),\,(1,\,2),\,(1,\,3),\,(1,\,4)\})]이다. 또, [math(A^n)]으로 표시하면 [math(A)]끼리 [math(n)]번 곱했다는 의미이며, 이를 이용해 [[좌표계]]를 [[실수(수학)|[math(\mathbb{R}^n)]]]으로 정의하곤 한다. 순서쌍은 각 성분의 순서를 바꾸면 다르게 취급하므로 집합의 곱은 [[교환법칙]]이 성립하지 않는다.[* 엄밀히는 결합법칙도 성립하지 않으나, 보통 "[math(A\times B\times C= \{(a,\,b,\,c)|a\in A,\,b\in B,\,c\in C\})]"와 같이 '약속'한다. 이렇게 하지 않으면 [math(A\times B\times C)] 혹은 [math((A\times B)\times C)]의 일반원소가 [math(((a,\,b),\,c))]와 같이 되어 쓸데없이 복잡해진다. 따라서 후자의 엄밀한 표기가 필요한 경우는 저자가 명확하게 정의하고 넘어가야 한다. 다만 튜플 자체를 재귀적으로 [math((a,\,b,\,c) = ((a,\,b),\,c))]와 같이 정의하기도 하므로 문제가 되지 않을 수 있다.] [[행렬]]이나 [[벡터]]와 깊은 연관성이 있어 [[선형대수학]] 이상의 수학에서 어마어마하게 쓰이는 개념. 곱집합이라고도 하지만, 카테시안 곱(Cartesian Product)이라고도 부른다. 단, 곱하는 집합 중에 공집합이 존재할 경우, 그 결과물은 공집합이 된다.[* 어떤 수이든 0을 곱하면 0이 되는 것과 마찬가지이다.] 무한 개의 집합에 대해서도 곱집합을 정의할 수 있는데, 가산 개의 집합의 곱이라면 그 원소들에 대해 위의 순서쌍 표기법을 그대로 사용할 수 있지만, 비가산 개의 곱이라면 더이상 이러한 표기법을 사용할 수 없다. 그래서 이 경우에는 곱집합의 원소를 순서쌍 대신 함수로 표현하여 다음과 같이 정의한다. ||임의의 집합모임 [math(\{A_i\}_{i\in I})]에 대하여 [math(A_i)]들의 곱집합 [math(\prod_{i=I}A_i)]는 첨수집합 [math(I)]에서 [math(A_i)]들의 합집합으로 가는 함수 중 각 [math(i\in I)]에 대하여 [math(f(i))]가 [math(A_i)]의 원소인 함수들을 모은 집합으로 정의한다. 수학적인 표기법을 사용하면 [math(\prod_{i=I}A_i:=\{f:I\to \bigcup_{i\in I}A_i|\forall i\in I\;\; f(i)\in A_i \})]가 된다.|| 위와 같은 일반화된 정의는 유한 개의 곱에 대하여 맨 처음에 정의한 순서쌍을 이용한 정의와 동치인데, 위에서 정의한 두 개의 집합 [math(A)], [math(B)]를 통해 확인하여 보자. 편의상 [math(I=\{1,2\})]로 놓고 [math(A=A_1)], [math(B=A_2)]라고 놓자. 그러면 위에서 순서쌍 표기법으로 [math(A\times B)]의 원소 [math((0,2))]는 함수 표기법으로 [math(f(1)=0)], [math(f(2)=2)]인 함수에 대응시킬 수 있고, 또 다른 원소 [math((1,4))]는 [math(f(1)=1)], [math(f(2)=4)]인 함수에 대응시킬 수 있다. 나머지 원소들도 비슷하게 대응시키면 순서쌍 표기법과 함수 표기법 사이에 일대일 대응 관계가 있으며, 따라서 [math(A\times B)]를 어느 쪽으로 표기해도 상관 없음을 알 수 있다. '''쉬운 버전''' 곱집합(카티션 프로덕트)은 집합 A와 집합 B의 곱셈을 의미한다. 만약 집합 A에 (1, 2)가 있으며 집합 B에 (5, 6)이 있다면 곱집합을 수행 시 아래의 절차가 수행된다. 수행 1. = 1 * 5 수행 2. = 1 * 6 수행 3. = 2 * 5 수행 4. = 2 * 6 문장으로 "A와 B의 곱집합은 (5, 6, 10, 12)이다." 라고 적을 수 있다. 관계대수에서 곱집합(카티션 프로덕트)의 기호는 × 로 표현된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기