문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 초월수 (문단 편집) == 특징 == 잘 알려진 초월수는 [[원주율]], [[자연로그의 밑]], [math(\log_23)][* 로그의 정의에 따라 [math(2^x=3)]을 만족시키는 [math(x)]의 값이다. ]등이 있다. 반대로, [math(\sqrt{2})]는 [[무리수]]이지만 [math(x^2-2 = 0)]의 한 해이므로 초월수가 아니다. [[허수]] 역시 마찬가지로, 대표적인 예시로 [math(i)]는 허수이지만 [math(x^2+1 = 0)]의 해가 되기 때문에 대수적인 수이다. 또한, 초월수같지만 초월수가 아닌 수로는 [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]가 있다. [* [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]의 값은 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} {{ \sqrt{17 - \sqrt{17} - \sqrt{2} \left( \sqrt{34 + 6 \sqrt{17} + \sqrt{2} \left( \sqrt{17} - 1 \right) \sqrt{17 - \sqrt{17}} - 8 \sqrt{2} \sqrt{17 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17 - \sqrt{17}} \right) }}})]여서 굉장히 복잡하게 보이지만 결국 정수의 사칙연산과 정수차수 제곱근으로 표현되므로 대수적 수가 된다. 이는 [[카를 프리드리히 가우스]]가 정17각형에 대해 연구한 수이다.] 모든 유리수 [math(\dfrac ba)]([math(a≠0)])는 [math(ax-b=0)]의 해가 되므로 대수적 수이기 때문에 실수인 초월수는 모두 무리수이다. 또한 실수가 아닌 초월수도 당연히 있다. 예를 들어 [math(\pi i)]는 실수가 아닌 초월수이다. 정수들의 사칙 연산 및 거듭제곱근으로 나타낼 수 있는 수는 모두 대수적 수이다. 따라서 작도할 수 있는 수 역시 모두 대수적인 수이다. 예를 들어 정17각형을 작도할 수 있다는 것을 응용해서 [math(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}})]는 작도 가능하므로 대수적인 수이다. 하지만 모든 대수적인 수가 작도 가능한 것은 아니다. 예를 들어 [math( x^3=2)] 의 실근인 [math(\sqrt[3]{2})]은 대수적인 수이지만 [[3대 작도 불능 문제#s-3.2|작도 불가능한 수]]이다. 또한 정수들의 사칙 연산 및 제곱근으로 나타낼 수 없어도 대수적인 수가 될 수 있는데, 5차 이상 고차 방정식의 일반해는 사칙 연산과 제곱근으로 나타낼 수 없지만[* [[브링 근호]]라는 특수함수가 필요하다.] 계수가 정수이기만 하면 대수적인 수가 되기 때문이다. [[초한기수|초월수의 개수(cardinal number)]]는 [[게오르그 칸토어]]가 복소수 집합이 실수집합과 같은 비가산집합이라는 걸 증명해냈기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수보다 아득하게 많다. 전자는 셀 수 없는 비가산집합이고 후자는 셀 수 있는 가산집합이므로. 좀 더 자세한 내용을 알고 싶으면 집합론의 파트 중 countable set(가산 집합)에 관한 내용을 찾아보는 것을 추천한다. 말은 어려워 보여도 실제 내용은 조금 과장해서 말하면 중학생도 이해 가능한 수준이니 한 번쯤 알아둬서 나쁠 건 없다. [[초한기수]] 문서를 참고하는 것도 괜찮다. 일단 정리하면 다음과 같다. >'''대수적 수'''는 {{{#royalblue 계수 및 차수가 유한한 정수 값을 갖는 다항식}}}(이하 '''유리다항식'''이라 칭함)이 품는 근이 되는 수이므로, '''대수적 수를 몽땅 모아놓은 집합'''은 {{{#salmon 근이 중복되지 않은 유리다항식들을 모두 모아놓은 집합}}}(이하 '''다항식집합'''이라 칭함)으로 간주할 수 있다. > >그리고, 유리다항식에 적힌 계수 및 차수, 연산기호 개수 등을 모조리 더한 값을 [[서수#s-3]]로 삼아서 다항식집합 속 유리다항식 사이 위계를 부여할 수 있다는 것을 통해 '''다항식집합은 가산집합인 자연수 집합과 일대일로 대응'''됨을 알 수 있다.[* 만약 순서가 겹친다 싶을 때는 순서가 겹치는 다항식 사이 위계를 또한번 정의해주면 된다.] > >이를 종합하면 대수적 수 집합은 가산집합이니 기수는 [math(\aleph_{0})]이지만, 초월수집합은 기수가 [math(\beth=2^{\aleph_{0}})]이므로 [[대각선 논법]]에 의해 가산집합인 대수적 수와는 도저히 일대일대응을 만족시킬 수 없게 된다. 따라서 '''초월수는 대수적 수보다 훨씬 많아질 수 밖에 없다.''' ## 앵커 리우빌 상수는 [[원주율]] 문서에서 사용됨 특이한 경우로는, 소수점 자릿수에 규칙이 있지만 대수적으로는 못 구하는 경우도 있다. 이런 경우도 [[무리수]]인 데다 초월수다. 예를 들어서 [[챔퍼나운 상수|챔퍼나운 상수(0.12345678910111213141516171819...)]] 같은 경우에는 누구나 보면 언뜻 [[유리수]]처럼 보이지만 반복되지 않는 무한소수이므로 무리수다. 이런 것과 관련해 다양한 [[바리에이션]]이 존재한다. 소수를 적는 진법에 따라 다른 경우로, 0.11011100101110111100010011010...,,(2),,가 있다. ,,(2),,의 의미는 이 숫자가 2진법으로 쓰여져 있다는 것이다.[* 이렇게 소수점 이하에서 해당 진법으로 표시된 자연수를 순서대로 무한히 나열하는 방식으로 만든 초월수를 섐퍼나운 상수(Champernowne constant)라 한다. D.G.섐퍼나운이라는 영국의 수학자 겸 경제학자가 창안한 것.] 또 다른 경우로는 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/코플랜드_에르되시_상수|'''코플랜드-에르되시 상수''']]인 0.235711131719232931...이 있는데, 소수만 나열해 놓은 경우다. 그 외에도 이 방식으로 최초로 제시된 초월수로 [anchor(리우빌 상수)]'''리우빌 상수(Liouville's constant)'''가 존재한다. [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!})]로 표기되며, 소수점 아래로 [math(0.110001000000000000000001000...)]로 이어지는 무한소수다.[* 현재는 '''충분하게 빠른 속도로 수렴하는 유리수 무한수열로 근사할 수 있는 수'''로 정의된다. 예를 들어 여기서 언급한 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!})]의 경우, [math(\displaystyle \{a_n\}=\sum_{k=1}^{n}10^{-k!})]으로 근사할 수 있다.] 리우빌은 이 수가 초월수라는걸 증명하기 위해서 다음과 같은 정리를 증명했다. >리우빌의 정리(Liouville's Theorem) >임의의 대수적 무리수 [math(x)]에 대하여 임의의 정수 [math(p, q)](단 [math(q>0)])가 있을 때 다음 부등식을 만족하는 [math(p, q)]의 쌍은 유한하다. >(이 때, [math(n)]은 유리수체에서의 [math(x)]에 대한 기약다항식의 차수([math(=\operatorname{deg} \operatorname{irr}(x, \mathbb{Q}))])로 주어지며, [math(\epsilon)]은 양의 실수다.) >[math(\displaystyle \left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{n+\epsilon}})] >---- >리우빌 상수는 '''충분하게 빠르게 수렴하는 유리수열'''로 근사할 수 있기에 이를 만족하는 [math(p, q)]쌍이 무한하게 많아서 리우빌의 정리에 정면으로 대치되기에 초월수로 증명된 것. [[힐베르트의 23가지 문제]] 중 하나는 [math(a^b)] 꼴의 수가 초월수임을 판정하는 방법에 관한 것이었다. 이 문제는 문제가 발표되고 몇 년만에 해결되었는데, 지금은 아래와 같이 서술되는 겔폰트-슈나이더 정리로 불린다. [math(a^b)]에서 [math(a)]가 다음 두 조건을 만족하는 대수적 수([math(a\neq 0, \log a\neq 0)])[* 복소수 역시 [math(\log a\neq 0)]를 만족. 즉 [math(a \neq 2i\pi n, n \in \mathbb{Z})]이거나 [math(a\neq 1)]이기만 하면 허용한다. 여기서 [math(\log)]는 밑이 [math(e)]인 자연로그를 의미한다. 물론 [math(\pi)]가 초월수이므로 [math(2i\pi n)] 자체가 대수적인 수가 될 수 없는데, 이 조건은 어디까지나 '''밑이 복소수라도 허용된다'''는 조건이라고 보면 된다.]이고, [math(b)]가 유리수가 아닌 대수적 수라면(복소수라도 상관 없음)라면, [math(a^b)]는 초월수이다. 여기서 대수적 수는 유한차 유리수 계수 방정식의 해가 되는 수를 말한다. 따라서 [[겔폰트-슈나이더 상수]](무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수일 수 있다는 명제와 연관된다)[math(2^{\sqrt{2}})], 겔폰트 상수 [math(e^{\pi})] (= [math({\sqrt[i]{-1}})] ) 같은 수는 초월수다. 반면, [math(\pi^e)] 는 아직 무리수인지도 판정하지 못했다.([math(\pi)]가 대수적 수가 아니어서 위 정리를 적용할 수 없다.) 마찬가지로, [math(e+\pi)] 또한 아직도 초월수인지 아닌지 밝혀지지 않았다. 현재 "샤누엘 추측(Schanuel’s conjecture)이 참이라면 [math(e+\pi)]는 초월수이다."라는 명제가 참이라는 것 까지는 증명된 상태지만, 정작 샤누엘 추측의 참/거짓 여부가 불명이다. 의외로 사람들이 헷갈려하는 오개념 중 하나인데, '''대수적 수와 초월수는 무리수의 하위 분류가 아니다.''' 무리수를 굳이 나눈다면 '대수적인 무리수'와 '초월수인 무리수'로 나눌 수는 있다. 대수적 수라는 말은 정수 계수의 방정식으로 나올 수 있는 해를 말하고, 초월수는 그렇지 못한 수기 때문에 대수적 수는 모든 수 체계의 수가 될 수 있고, 초월수는 하다못해 [math(\pi i)]같은 허수도 포함시킬 수 있다. 또한 대수적 수인 유리수도 많다. 단, 유리수인 초월수라는 것은 있을 수 없기 때문에 실수인 초월수는 모두 무리수이긴 하다. 한편 이것의 [[함수]] 버전도 있는데, [[초월함수]]라고 한다. 초월수처럼 유한 차수 다항식으로 정의되지 않는 함수이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기