문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 카이제곱분포 (문단 편집) == 카이제곱확률변수 == [math(Z_1,\,Z_2,\,\cdots ,\,Z_v)]가 서로 독립인 [math(v)]개의 확률변수이면서 [[표준정규분포]] [math(\mathcal{N}(0,1))]을 따른다면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(U=\displaystyle\sum_{i=1}^v Z_i^2)]}}} 을 [[자유도]]가 [math(v)]인 [math(\chi^2)](카이제곱)확률변수라고 한다. 예를 들어 각 [math(X_i)]가 정규분포 [math(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2))]을 따르는 [math((X_1,\,X_2,\,\cdots ,\,X_n))]의 확률표본을 표준화하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(Z_i=\dfrac{X_i-\mu}\sigma)]}}} 가 되고 모든 [math(Z_i)]의 제곱의 합인 다음 확률변수는 자유도가 [math(v)]인 [math(\chi^2)]분포를 따른다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\sum_{i=1}^v\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^{\!2}\!=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^v(X_i-\mu)^2}{\sigma^2})]}}} [math(\chi^2)]확률변수는 연속확률변수인 표준정규변수의 함수이므로 똑같이 연속확률분포를 따른다. 또한, 제곱의 합으로 정의되기 때문에 항상 0 이상의 값만을 갖는다. 또한, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\operatorname{E}(U)=v,\quad \operatorname{Var}(U)=2v)]}}} 곧, 카이제곱분포는 '''평균이 자유도와 같고, 분산은 자유도의 2배이다.''' {{{#!folding [증명] {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}U&={Z_1}^2+{Z_2}^2+\cdots+{Z_v}^2\\\rightarrow E(U)&=E({Z_1}^2)+E({Z_2}^2)+\cdots+E({Z_v}^2)\end{aligned})] [math(\begin{aligned}{\rm Var}(Z_i)&=E({Z_i}^2)-[E(Z_i) ]^2\\\rightarrow E({Z_i}^2)&={\rm Var}(Z_i)+[E(Z_i) ]^2\end{aligned})]}}} [math(Z_i)]는 표준정규분포를 따르므로 [math(Var(Z_i)=1,\,E(Z_i)=0)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}E({Z_i}^2)&=1+0=1\\\therefore E(U)&=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{v\;{\rm times}}=v\end{aligned})] [math({\rm Var}(U)={\rm Var}({Z_1}^2)+{\rm Var}({Z_2}^2)+\cdots+{\rm Var}({Z_v}^2)=v\cdot{\rm Var}({Z_i}^2))]}}} 또한 [math({\rm Var}({Z_i}^2)=E({Z_i}^4)-[E({Z_i}^2) ]^2)]이고 [math(E({Z_i}^2)=1,\,E({Z_i}^4)=3)]임이 알려져 있으므로[* [math(E({Z_i}^4) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^4e^{-\frac{x^2}{2}}\,{\rm d}x = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^3e^{-\frac{x^2}{2}} \biggr|_{-\infty}^{\infty} + 3 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\,{\rm d}x = 3(V(Z_i)+[{E(Z_i)}]^2) = 3)] ] {{{#!wiki style="text-align: center" [math({\rm Var}({Z_i}^2)=3-1=2)] [math(\therefore{\rm Var}(U)=2v)]}}}}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기