문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원 (문단 편집) === 성질 3 === [[파일:나무_타원_성질4.png|width=240&align=center]] 위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]에 외부의 점 [math(\rm P)]로부터 접선을 그었을 때, 두 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 점 [math(\rm P)]에서 직교한다면, 점 [math(\rm P)]의 자취는 원 [math(x^2+y^2=a^2+b^2)]이다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다. || '''타원 외부의 점에서 두 접선을 그었을 때, 두 접선이 직교하는 점의 자취는 원이다.''' || 이것의 증명은 우선 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방정식을 결정하는 것부터 시작된다. [math(l_{1})]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle l_{1}:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )] }}} 그런데 [math(l_{1})], [math(l_{2})]는 직교하므로 [math(l_{2})]의 기울기는 [math(-m^{-1})]이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle l_{2}:\, y=-\frac{x}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 한편, [math({\rm P}(X,\,Y))]라 놓으면 각각은 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y&=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,Y&=-\frac{X}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} \end{aligned} )] }}} 이때 식을 변형하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y-mX&= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,mY+X&= \pm \sqrt{a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )] }}} 으로 쓸 수 있고, 각각의 양변을 제곱하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y^2-2mXY+m^2X^2&= a^2 m^2+b^2 \\ l_{2}:\,m^2 Y^2+2mXY+X^2&= {a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )] }}} 각각을 더하고 정리함으로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} X^2+Y^2&=a^2+b^2 \end{aligned} )] }}} 이 나오게 된다. [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 제곱이 [math(a^2+b^2)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기