문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원 (문단 편집) === 성질 4 === [[파일:나무_타원_성질5.png|width=240&align=center]] 위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하고, 타원 위의 한 점 [math(\rm P)]를 지나는 접선 [math(l)]과 원점을 통과하며, [math(l)]과 평행한 직선과 타원과의 두 교점을 각각 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm PAB)]는 일정하다. 이것의 증명은 [math(l)]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, [math(l:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, 직선 [math(\rm AB)]의 방정식은 [math(y=mx)]로 놓을 수 있다. 해당 직선과 타원의 방정식을 연립하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2 x^2}{b^2}=1 \quad \to \quad \frac{m^2 a^2+b^2}{a^2 b^2}x^2-1=0 )] }}} 따라서 이 방정식의 해는 [math(x_{1})] 혹은 [math(x_{2})]인데 이차방정식의 [[근과 계수의 관계]]에 의해 두 근의 합은 [math(x_{1}+x_{2}=0)], 두 근의 곱은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x_{1}x_{2}=-\frac{a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )] }}} 이므로 [math((x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2})]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{4a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )] }}} 이다. 이때, [math(y_{1}=mx_{1})], [math(y_{2}=mx_{2})]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (y_{1}-y_{2})^{2}=m^2(x_{1}-x_{2})^2 )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \\&=\frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \end{aligned} )] }}} 을 얻을 수 있고, 삼각형 [math(\rm PAB)]의 높이는 원점에서 접선 [math(l)]까지의 거리이므로 다음과 같이 일정하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} )] }}} 따라서 아래의 결과를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned}\triangle \rm PAB &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \cdot \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \\&=ab \end{aligned} )] }}} 이 문단에서는 특정한 타원을 예로 들었지만 이는 일반적인 타원에서 성립한다. 복잡하게 계산했지만 타원이 원의 선형변환인 것을 생각한다면 매우 당연한 성질이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기