문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원 (문단 편집) === 성질 6 === [[파일:나무_타원_중심.png|width=240&align=center]] 위 그림과 같이 중심이 [math(\rm O)]인 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))] 위의 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 지나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 평행한 [math(l)]들에 대하여 그 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점의 자취는 '''타원의 원점을 지나는 직선''' 위에 위치하게 된다. 더욱 일반적으로 아래와 같이 정리할 수 있다. || '''타원의 두 점을 지나는 평행한 직선들에 대하여 그 교점의 중점의 자취는 타원의 원점을 지나는 직선이다.''' || 이것의 증명은 [math(l:\, px+q)]이라 놓는 것부터 시작된다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 두자. 이때, 직선 [math(l)]과 타원의 방정식을 연립함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}&=1 \\ b^2 x^2+a^2 (px+q)^2-a^ 2b^2 &=0 \\ (a^2 p^2 +b^2)x^2+2a^2 pqx+a^2 q^2+a^2 b^2&=0 \end{aligned} )] }}} 이것의 해는 [math(x_{1})]과 [math(x_{2})] 중 하나이다. 이차방정식의 [[근과 계수의 관계]]에 의하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )] }}} 만약 [math({\rm M}(X,\,Y))]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\&=-\frac{a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \\ Y&=p \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)+q \\&=-\frac{a^2 p^2 q}{a^2 p^2 +b^2}+q \\&=\frac{-a^2 p^2 q+q(a^2 p^2 +b^2)}{a^2 p^2 +b^2} \\&=\frac{qb^2}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )] }}} 위 결과를 사용하면 [math(X)]와 [math(Y)]의 관계식은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Y=-\frac{b^2}{a^2 p}X)] }}} [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 원점(타원의 중심)을 지나는 직선이므로 해당 내용이 증명되었다. 위의 성질들을 이용하여 임의의 타원의 중심을 쉽게 찾을 수 있다. 다음의 단계를 따른다. [[파일:나무_타원중심_작도_ai.png|width=190&align=center]] 1. 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(a)], [math(b)]를 그린다. 1. 직선 [math(a)]와 타원의 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점 [math(\rm M)]을 찾는다. 1. 직선 [math(b)]와 타원의 교점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]의 중점 [math(\rm N)]을 찾는다. 1. 직선 [math(\rm MN)]을 그린다. 1. 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(c)], [math(d)]를 그린다. 단, 1에서 그린 직선의 기울기와는 다른 직선을 사용한다. 1. 직선 [math(c)]와 타원의 교점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]의 중점 [math(\rm P)]을 찾는다. 1. 직선 [math(d)]와 타원의 교점 [math(\rm F)], [math(\rm G)]의 중점 [math(\rm Q)]를 찾는다. 1. 직선 [math(\rm PQ)]를 그린다. 1. 두 직선 [math(\rm MN)], [math(\rm PQ)]의 교점 [math(\rm O)]가 타원의 중심이 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기