문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 한국수학올림피아드 (문단 편집) === [[기하학|기하]] === {{{+1 Geometry}}} [[유클리드 기하학]]을 다루며, 대부분의 경우 논증기하학의 풀이로 푸는 것을 기본으로 한다. 다른 분야에 비해 보조정리가 매우 많으며, 중학교 2,3학년 과정의 삼각형의 내심·외심·무게중심, 닮음, 삼각비, 원의 성질 외에도 [[스튜어트 정리]], [[메넬라오스 정리]], [[코사인 법칙#s-3|제2코사인법칙]] 정도는 기본 중의 기본이다. 보조정리를 사용해도 정 안되는 경우 사영기하학, 반전기하학, 해석기하학, 복소기하학[* 뒤의 두 개는 [[노가다]].]을 사용하여 다른 관점에서 보고 계산하기도 한다. 타 분야에 비해 노력이 중요한 분야다. 알고 있는 보조정리의 개수에 따라 문제를 푸는 시간이 비약적으로 단축될 수 있으며, 우리 나라 학생들이 선호하고 잘하는 분야이기도 하다. 기하 또한 보조정리(lemma)를 얼만큼 외우느냐와 정리를 얼마나 많이 아느냐가 관건이다. 중등 KMO같은 경우 기하는 기본적으로 3개 이상 맞아야지 수상권이다. 또한 중등2차에서도 가장 풀 만하고 승부를 걸어야 할 부분이 기하다. 기하학 머리는 좀 달리지만 대수/정수가 뛰어난 학생들은 위에서 노가다로 표시한 해석/복소 기하학을 사용하기도 한다. 대신 이 두 방법의 치명적인 단점은 각각 좌표 계산의 복잡과 원, 교점 계산의 어려움이다. 그래도 굳이 쓴다면 쓰는 경우도 많다. 복소평면을 사용하는 복소기하와 유사한 점이 좀 있는 벡터를 사용하여 문제를 푸는 경우도 가끔 있다. KMO 1차에서는 정식 풀이는 아니지만 정밀작도(측정기하)[* 1차는 답이 무조건 '''정수'''라는 것을 이용해서 작도를 정확히 하여 답을 짐작하는 것.], 극단법(가정기하)[* 답이 무조건 1개라는 점을 이용해 문제를 매우 극단적인 상황으로 만드는것. ex) 일반적인 사각형을 정사각형으로 만들어서 풀기] 이라는 되도 않는 엉터리(이긴 하지만 매우 유용한) 편법을 이용하기도 한다. 다만 KMO 1차는 어떻게 풀든 답만 맞으면 장땡(...)인 시험이므로 점수를 위해서 편법들을 쓰는 것은 나쁘지 않다. 위의 서술 중 해석기하는 흔히 학교에서 배우는 xy 평면에서 계산하는 직교[[좌표계]][* 혹은 데카르트 좌표계]를 이용하는 것을 말하는데 고등부에서는 이보다는 간단한 기하학적 성질과 함께 [[복소수]]나 무게중심 좌표계(barycentric coordinate)로 풀면 오히려 논증적 풀이방법보다 더 깔끔하게 풀리는 경우도 꽤 있어서 고등부 2차 이상을 바라보는 학생이라면 반드시 [[복소수]]와 barycentric 좌표계가 뭔지 공부해두는 것이 좋다. 복소수법과 barycentric coordinate 모두 원이 여러개 등장하는 문제에서는 계산이 너무 복잡해지는 경우가 많아 쓰기 어려울 때도 있는데 원이 많이 등장할 때도 원의 중심 등 원의 특징적인 점들에 대해서만 문제에서 이용하면 풀리는 경우가 상당수 있어 노가다 법도 반드시 익혀둬야 한다. 물론 논증풀이는 우아함에 있어 거의 99% 이상의 문제에서 노가다를 압도하며 사실 기하를 올림피아드에서 다루는 이유도 논증으로 풀어보라는 것이다. 하지만 학생 입장에서 시험장에서 우아함만 찾다가 0점 받는 것 보다는 개노가다 풀이를 하더라도 완벽하게 풀어서 점수를 따는 것이 개인에게 이득인 점을 생각하면 반드시 공부해야 한다. 또한 해석/복소기하 외에도 삼각함수를 잘 활용하는 것 역시 본인이 논증기하가 약한 경우 매우 중요하다. 삼각함수의 경우 사인 법칙(Sine law)를 사용하면 길이의 비를 각도의 비로 치환할 수 있으며, 상대적으로 삼각함수는 계산이 조금 복잡하지만 각도와 길이만 잘 표시해 주면 닮음이나 합동, 보조선 등의 기본적인 논증기하 스킬을 전혀 사용하지 않아도 계산만 몇 줄 하면 답이 바로 나오는 경우가 많이 있으므로 잘 익혀주자. 어려운 기하 문제의 경우 상상도 못한 보조선이 난무하는 경우가 가끔씩 있는데[* 이런 문제가 어떤 문제들인지 궁금하면 IMO shortlist 문제들을 보면 종종 보이는 편이다. 난이도란 사전지식이나 개인별 강세에 따라 조금씩은 다를 수 있으나 IMO shortlist는 번호가 증가할 수록 대부분의 사람들이 느끼기에 객관적인 난이도가 올라간다. G는 geometry의 약자로 기하 영역 문제의 표시이다.], 이 경우 삼각함수 풀이를 정석적인 풀이로 생각하는 것이 차라리 속이 편할 수도 있다. 노가다 외에 정통적인 논증 풀이와는 약간 다르지만 반전(inversion)이나 사영(projection)을 이용한 풀이도 고등부에서는 반드시 알아둬야 하는 내용이다. 이 두가지 방법들은 사실상 논증풀이라고 봐도 무방하다. 과거에는 출제 범위에 해당하지 않았지만 사실상 눈가리고 아웅식으로 출제됐었고 근래에는 기본적으로 알아둬야 하는 내용이 됐다. 실제 풀이도 접근만 제대로 하면 노가다 없이 깔끔하게 풀리고 풀이 과정 자체도 전통적인 논증과 많이 다른 느낌이 들지 않는다. 반전의 경우 원에 대해서 문제 상황을 말 그대로 반전 시켜서 보는 것이고 사영은 원을 직선에 투영시키거나 그 반대의 경우, 혹은 직선에서 직선으로 투영 시키면서 문제에 접근하는데 반전은 원과 직선을 바꿔가면서 문제를 다른 각도에서 볼 수 있다는 점이 있고 사영기하의 경우는 교점이 유지된다는 점이 있어서 그림 상황에 대해 경우를 나누지 않고 풀어도 된다는 장점이 있다.(immune to configuration) 또한 상황을 쉽게 만들어서 해결할 수 있는 경우들도 있다.[* 사각형이나 삼각형을 정사각형, 정삼각형으로 바꿔서 해결하는 등] 두가지 방법 모두 아무것도 모르는 상태에서 처음 내용을 보면 도대체 이런 것을 뭐하러 하나 싶은 생각이 드는데 많은 문제를 접하다 보면 훨씬 쉽게 해결되는 문제들이 있음을 알 수 있다. 반전의 경우 확실히 원래 문제 상황보다 반전 상황이 쉬운 경우가 있는데 원 보다 직선이 다루기 쉬운 상황이거나 직선보다 원이 다루기 쉬운 상황, 접선이 등장하는 상황 등 다양한 상황이 있을 수 있다. 사영기하의 경우 접선이 등장하거나 harmonic quadrilateral 혹은 harmonic division이 보이는 문제, complete quadrilateral이 보이는 문제, 중점과 평행선이 같이 등장하는 문제에서는 사영기하를 사용한 접근이 가능한지 일단 생각해 보는 것이 좋다. 특히 원이 여러 개인데 공통적으로 한 점을 지나는 상황이면 반전을 일단 생각해보고 넘어가는 것이 기본이다. 위 문단에서 서술되어 있듯 일단 원이 여러 개 등장하면 모든 노가다 법은 계산히 상당히 길어지기 쉽다. 중등 KMO 2차에서는 쉽게 나오는 추세이다. 2022년에는 두 문제 모두 각만 돌리면 모두 끝나는 문제들이었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기