문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 함수 (문단 편집) === 함수의 정의 이후 === 19세기 말의 데데킨트 시점까지 가면 (집합론에서의 약간의 변경을 제외하면) 우리가 현대에 쓰는 함수의 정의가 완벽히 정립된 것으로 본다. 이렇게 이제까지의 불확실성을 모두 떨어내고 함수, 극한, 연속 등을 완벽히 정의한 [[미적분학]]은 이 정의들을 바탕으로 [[해석학(수학)|해석학]]이란 이름으로 다시 태어나게 된다. 어떻게 보면 함수의 정의는 극한, 연속, 미분 등의 다른 개념들의 정의와는 다른 방향으로 변화했는데, 다른 것들은 직관적으로 보이는 것들을 엄밀하게 정의해 복잡해진 느낌이 있지만 함수의 정의는 더욱 간소화되었다는 차이가 있다. 물론 정의는 간단할수록 좋지만, 어찌 보면 정의가 간단해진만큼 함수의 범위는 더욱 넓어져서 온갖 괴상한 함수들을 데리고 와야 한다는 뜻이다.-- 실해석학이 반례의 천국인 이유-- 하지만 이 결정도 결국엔 맞는 것으로 드러난다. 해석학 중 [[미분방정식]]의 풀이법이 극도로 발전하면서 사람들은 개별 함수뿐만이 아니라 이들로 이루어진 [[벡터 공간]]인 함수 공간 위에서 해법을 찾는 방식을 생각했는데, 연속함수들만 모아 놓으니 뭔가 많이 부족했던 것. 완비성(completeness) 등의 좋은 성질을 갖는 공간을 찾으려면 연속함수들을 이용하기보다는 전체 함수들의 풀에서 특정 조건을 만족하는 것만 추려내는 것이 더 편했고, 이 방식은 함수해석학(functional analysis)의 시작이 된다. 한편 이렇게 간단해진 함수의 정의로 인해, 함수는 해석학 외의 다른 분야에서 '구조'를 정의하는 일을 맡을 수가 있었다. 사실상 [[군(대수학)|군론]]의 시작을 연 [[대칭군]](치환군)부터가 따지고 보면 함수들의 모임이고, [[선형대수학]]에서 나오는 [[선형 변환]]을 생각하는 데에도 함수의 개념이 필요하다. 여기서 더 나아간 [[추상대수학]]을 배우면 초반에는 대수적 구조랑 함수놀이만 하고 있는 자신을 볼 수 있을 것이다. 위에서 단사/전사/전단사 등을 정의한 게 [[니콜라 부르바키]]였다는 것을 보면 언뜻 눈치챘겠지만, 이 함수의 정의도 부르바키식 개편에 잘 들어맞아 채택된 느낌이 있다. 애초에 디리클레의 정의를 집합론적인 정의(1.1.3의 정의)로 엄밀하게 못박은 게 부르바키라, 저 함수의 정의를 디리클레-부르바키 정의라고 부르기도 하니까... 이 부르바키식 개편의 ~~뇌절~~ 극단이 [[범주론]]이고, 그곳의 객체와 사상(morphism) 개념은 비록 함수에서 따왔지만 그걸 넘어선 어마어마한 무언가가 되어버린 것은 말할 필요도 없을 것이다.[* 범주론에서의 사상의 정의역과 공역은 굳이 집합일 필요가 없는 임의의 오브젝트가 되기 때문에, 집합론에서의 집합과 함수로는 표현이 불가능한 정말 많은 것들의 표현이 가능해진다.-- 너무 많아서 문제지--] --아무리 [[부르바키]]를 싫어해도-- 어느 분야이나 함수가 수학자들의 필수 도구가 되어 버린 것은 부정할 수 없다. 물론 함수 하면 떠올리는 것은 분야마다 천차만별일 것이다. 범주론이 아니더라도 실함수의 이미지가 희석된 경우에는 function 대신에 map, morphism 등의 용어도 자주 쓰인다. 한국어로 이들을 '함수'라 번역하는지 '사상'이라 번역하는지는 또 분야마다 제각각이다. 부르바키의 집합론적 정의가 1939년에 등장하기까지에는 또 의외로 길고 긴 우여곡절이 있지만, 모두 따라가자면 [[수리논리학]]과 공리적 [[집합론]]의 발전사와 엮여 이야기가 매우 길어진다. 재미있는 것은 [[#s-2|2번 문단]]의 함수 내용도 이 과정에 나름의 빚을 지고 있다는 것인데, [[힐베르트]]가 함수를 정의하려는 과정에서 나온 [[불완전성 정리]], [[정지 문제]] 등과 연관되어 [[알고리즘]]과 계산가능성 이론, 결국에는 [[튜링 머신]]까지 튀어나왔기 때문이다. --교육과정에서 흔히 쓰이는 '마술상자'로의 비유가 설마 컴공에서 역수입된 건 아닐까--저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기