문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 함수 (문단 편집) === 집합론에서 === 이후 집합론으로 넘어가면 함수 역시 여타 추상적인 수학적 대상들과 마찬가지로 집합 그 자체로 환원된다. 엄밀히 말해 함수는 [[관계]], 즉 [[순서쌍]]들의 [[집합]]이다. 각 순서쌍의 왼편이 함수에 넣어지는 값, 오른쪽이 함숫값을 나타낸다. 즉, 집합론에서의 함수의 정의는 함수를 식이 아닌 값들의 대응, 즉 사상으로 바라본 것이다. 예를 들어, 함수 [math(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R})], [math(f(x)=x^2)]는 집합론에서의 정의에 따르면 이 함수의 그래프 위의 점들 [math((x,y)=(x,x^2))]의 집합 [math(f=\{(x,x^2):x\in\mathbb{R}\})] '''그 자체'''이다. [[다변수함수|만약 함수에 넣어지는 값이 여러 개]]이면 왼편은 그 값들의 순서쌍이 된다. 정의역이 [math(X)], 공역이 [math(Y)]인 함수 [math(f:X\mapsto Y)]를 조금 더 엄밀하게 정의하면 다음과 같다: {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f=\{(x,\,y)\mid x\in X\land y\in Y\}\;\text{s.t.}\;\forall(x,\,y)\in f\;\forall(x,\,y')\in f;\;y=y')]}}} [* 뒤에 붙은 조건(s.t.부터)을 빼먹으면 [[음함수]]가 된다.] 쉽게 말해 하나의 [math(x\in X)]값이 하나의 함숫값 [math(y\in Y)]만 가지도록 강제하는 조건이다. 이 함수에 속한 순서쌍들의 왼쪽 값만 모두 모은 집합 [math(X=\{x\mid(x,\,y)\in f\})]를 함수의 정의역, 오른쪽 값만 모두 모은 집합 [math(R=\{y\mid(x,\,y)\in f\})]를 함수의 치역이라고 한다. 이 정의를 이용해 함수 합성의 교환법칙과 결합법칙도 증명할 수 있다. 여기에 공역의 정의까지 추가해 더 엄밀한 정의를 만들 수 있다. 앞서 정의한 순서쌍들의 집합을 [math(P)]라고 할 때, [math(Y\supset R)]을 만족하는 공역 [math(Y)]를 추가하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f=(X,\,Y,\,P))]}}} 즉, 이 정의에 따르면 정의역과 그에 대응하는 모든 순서쌍이 같다고 해도 공역이 다르면 엄밀히 말하자면 다른 함수인 것이다. 공리적 집합론을 공부했다면 이 정의는 (공리적) 집합이 아닌 것들에 함수를 주는 일을 방지하기 위한 안전장치로 볼 수 있고, 즉 [[ZFC 공리계]] 같은 걸 진지하게 파고들지 않는 이상은 일상생활에서까지 이렇게까지 할 필요는 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기