문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 함수 (문단 편집) == 일반인이 생각하는 함수 == 보통 함수 하면 [[실수]] 집합(의 부분집합)을 정의역과 공역으로 갖는 실함수를 떠올리고, 이는 실생활에서 기대하는 함수의 역할인 '''한 [[변수]]에 대한 다른 변수의 변화의 기술'''에 사용된다. 역사적으로 함수는 [[미적분학]]의 주 목적인 시간에 따른 물체 위치의 변화를 기술하면서 따라나왔다. 이것이 단순히 시간적 변화뿐만이 아니라 관련있는 숫자 둘로 일반화된 것으로 볼 수 있다. 과학에서 나오는 [[법칙]]이라고 이름 붙은 것들 대부분은 따지고 보면 뭐가 변할 때 다른 하나가 변하는 함수의 형태로 나온다는 것을 관찰할 수 있다. 비단 과학법칙이 아니라도 연관있어 보이는 두 변수가 함수로 연관되어 있다고 생각하고, 그 함수를 식으로 나타내어 결과나 경향을 예측하는 것이 함수의 주된 쓰임 중 하나인 '''[[모델링]]'''이다. 이 함수의 증감추세를 그림으로 한눈에 표현하는 [[그래프]]는 덤이다. 이런 상황에선 [math(x)], [math(y)]를 각각 '''독립변수'''([[獨]][[立]][[變]][[數]], independent variable), '''종속변수'''([[從]][[屬]][[變]][[數]], dependent variable)라 부르는 경우가 많다. 흔히 말하는 '[[다변수함수]]'도 독립변수와 종속변수가 실수 여러 개로 늘어났다는 거 말고는 여기서 크게 벗어나지 않는다. 함수는 자연현상의 인과관계를 설명할 때 적합하다. 모든 현상(X)은 반드시 그에 따른 결과(Y)가 발생한다. 계속 똑같은 원인이 생기면 당연히 결과도 똑같으며, 뜬금없이 전혀 다른 결과가 생기는 경우는 없다. 컵 속 물을 예로 들자면, 우리가 일상생활에서 -30도에서 200도(정의역)까지 물의 온도를 특정한 값(X)으로 균일하게 조절하면 물은 고체/액체/기체 상태(Y)가 된다. 여기서 생각을 '''단순하게''' 해보자. 고체도 액체도 기체도 아닌 다른 상태로 존재하는 것이 가능할까? 뭐, 압력이 낮고 일정하다면 [-30, 200]에서는 일어나지 않는다. 이 부분에서 함수의 특징 중 하나인 '''모든 X는 반드시 그와 짝을 이루는 Y값이 있다'''라는 개념이 들어간다. 또 하나 생각해볼 게 있다. 임계 압력 이하에서[* 물이 374°C, 22.1MPa인 경우 액체이면서 기체인 상태, 즉 [[초임계유체]]가 되어 버리므로 아래 문장이 성립하지 않는다.] 과연 특정 온도의 물이 한 번에 두 가지 상태를 다 가지는 일이 있을 수 있을까? 상식적으로 생각해봐도 물은 액체이면 액체, 기체이면 기체여야 하며 액체이면서 기체인 경우는 말이 안 된다. 여기에 '''모든 X는 반드시 Y에 하나만 대응한다'''라는 개념이 포함되는 것이다. 물론 위의 문단은 예시일 뿐, [[양자역학]]적 관점으로는 틀린 말이 된다. [[불확정성 원리]]에 따르면 같은 사람이 던진 주사위라도 항상 같은 수가 나오지 않듯이 같은 조건(x)에서도 다른 결론(y)이 도출될 수 있다고 한다. 즉, '집합 [math(X)]의 원소 하나에는 [math(Y)]의 원소 하나만이 대응된다'라는 정의를 위반한 셈. 그리고 사실 [[초임계유체|액체이면서 기체, 기체이면서 액체인 경우]]는 존재하긴 한다. 일상생활에서는 보기 힘들 뿐, 애초에 함수 개념이 처음 제시된 때는 아직 양자역학이 들어서기 훨씬 전으로 한창 고전물리학이 태동하던 시기였단 걸 고려하자. 후술하겠지만 이러한 유형의 함수는 좀 더 넓은 의미의 함수와 관계되어 있다. 하지만 이렇게만 함수를 생각하며 고등수학의 정의를 보면 적잖은 괴리감을 느낄 것이다. 일반적인 함수는 정의역과 공역이 수의 집합일 필요도 없고, 따라서 그래프는커녕 '변수'니 '변화'니 하는 말부터 의미가 없다. 현대적인 함수의 정의는 수학자 디리클레 혹은 데데킨트의 정의[* 데데킨트는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept#cite_note-32|영문 위키피디아]]에 따르면 장 디외도네(Jean Dieudonné)가 데데킨트의 1888년 논평인 'Was sind und was sollen die Zahlen?'의 한 구절을 확인한 부분이 있다. 사실 대부분 디리클레/로바체프스키가 함수의 정의 고안자로 인정받지만, 이들이 각각 1834, 1837년에 한 서술이 정확한 '정의'의 공식화인지 여부는 논란이 있다.]로, 굳이 식이니 변화니 하는 부분을 다 쳐내고 저렇게 추상적인 부분만 남긴 이유는 수학 중 [[해석학(수학)|해석학]]의 발전에 따른 수학자 수요가 일차적 원인이다. 간단히 말하면 식이나 변화(미분)의 요소가 없는 함수도 같이 생각을 해주는 게 더 일관성이 있었다. 자세한 이야기는 아래의 '함수의 역사' 부분에 서술. 물론 해석학 하나 때문에 저렇게 바꾼 건 아니다. 함수의 추상적 정의는 해석학 밖에 수학 여러 분야에서도 수가 포함되지 않는 광범위한 개념들을 함수로 편입시키며 큰 영향을 끼쳤다. 대학수학 정도만 가도 '함수의 공간'에서 '함수의 공간'으로의 '함수'[* 즉 실함수를 집어넣어서 실함수가 나오는 (추상적) 함수이다. 작용소(operator)라 부르는 이 개념은 [[미분방정식]]이나 [[푸리에 해석]]을 공부할 때 등장한다.]와 이상해 보이는 함수들이 마구 튀어나오는데, 익숙해지면 생각보다 유용하게 써먹을 곳이 많다. 일상생활과 관련이 많은 [[이산수학]]에서도 알고리즘, 관계, 분류 등을 생각할 때 여기저기서 튀어나온다. [[함수(프로그래밍)|프로그래밍 언어의 함수]]도 따지고 보면 여기서 비롯되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기