문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 확률변수 (문단 편집) == [[확률론]]에서의 엄밀한 정의 == 공리적 확률론에서 확률 변수의 정확한 정의는 다음과 같다. 확률공간 [math((\Omega, \mathcal{F}, P))][* 확률론에서 확률공간을 나타낼 때 쓰는 표준적인 표기로, (표본공간, 사건공간, 확률[[측도]])의 세 쌍이다.] 위의 확률 변수는 함수 [math(X : \Omega \rightarrow \mathbb{R})] 중 보렐 가측인(Borel measurable) 함수로 정의된다. 보렐 시그마 대수 [math(\mathcal{B}(\mathbb{R}))]는 [math(\mathbb{R})]의 열린 집합 및 닫힌 집합을 모두 포함하는[* 실수집합의 경우에는 이 조건을 '개구간을 모두 포함하는' 혹은 '반직선 구간 [math([-\infty, a])]을 모두 포함하는' 등의 다양한 형태의 약한 조건으로 바꾸어 쓸 수 있다. 시그마 대수가 반직선 구간들만 포함해도 모든 열린 집합과 닫힌 집합을 포함해야 하기 때문.] 최소의 시그마 대수로 정의되고, 보렐 가측은 이 보렐 가측 공간 [math((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})))]에 대해 가측인(measurable) 조건을 의미한다. 즉 보렐 가측일 필요충분조건은 임의의 열린 집합의 역상이 [math(\mathcal{F})]에 있는 것이고, 나아가서는 임의의 실수 [math(a)]에 대해 [math(X^{-1}([-\infty,a]) \in \mathcal{F})]가 성립하는지만 확인해도 된다. 이 관점에서 통상적인 확률의 표기 [math(P(X \in S))]는 [math(S)]의 역상 [math(X^{-1}(S))]의 확률, 즉 [math( \displaystyle P(X \in S) = P( \{ \omega : X(\omega) \in S \} )] 로 해석되고, 확률변수 [math(X)]에 대한 [[확률 분포]](probability distribution)는 확률측도 [math(P)]의 pushforward measure로, 즉 [math( \displaystyle \mu_X(S) = P(X \in S))] 로 정의되는 [math((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})))] 위의 확률[[측도]] [\math(\mu_X)]로 정의된다. 물론 [[측도론]]이고 뭐고 다 몰라도 상관없다면, '함수 [math(X : \Omega \rightarrow \mathbb{R})] 중 확률 [math(P(a \le X \le b))]을 항상 정할 수 있는 것' 정도로만 생각해도 무방하다. 따지고 보면 상단의 정의란 것도 결국에는 이 상식적인 조건을 측도론의 언어로 옮긴 것으로 볼 수 있다. 이 정의에서 이산확률변수와 연속확률변수는 오로지 [[누적 분포 함수]] [math(F_X(a) = P(X \le a))]의 개형으로만 구분할 수 있는데, 누적분포함수가 계단함수의 합으로 나타나면 이산확률변수로, 미분가능한 함수로 나타나면 연속확률변수로 생각할 수 있다. 0에서 1 사이의 값을 갖는 단조증가함수가 이것만 있는 건 아니므로, 실제 확률변수의 공간은 이산도 연속도 아닌 확률변수로 가득 차 있다. 이는 통계학과는 다르게 이산/연속확률변수의 구분이 비교적 본질적이지 않은 이유로, 나중 가서 [[스틸체스 적분]]까지 익히면 누적분포함수 하나로 질량함수나 분포함수가 하는 역할을 모두 수행할 수 있기 때문에 실제 계산에서도 둘을 구분하지 않는 경우가 많다. 물론 그렇다고 이산/연속의 구분이 아예 의미가 없는 건 아닌 게, 실수 위에서의 모든 확률측도는 이산적인 부분과 연속적인 부분으로 나눌 수 있다는 것을 르베그 분해(Lebesgue decomposition)와 라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem) 등을 이용해 증명할 수 있기도 하다. 이산도 연속도 아닌 확률 변수를 '''혼합 확률 변수'''(mixed random variable)라 부를 수 있는 것이 이 때문. 복소수 값을 갖는 복소 확률변수나 다변수 확률변수의 경우에도 위의 정의에서 확률변수의 치역만 단순히 [math(\mathbb{C})]나 [math(\mathbb{R}^n)]으로 바꾸어 주고, 보렐 가측 조건을 똑같이 적용하면 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기