문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 확률분포 (문단 편집) ==== 이항분포 ==== [[이항분포]](binomial distribution) [math(n)]번의 독립 베르누이 시행(한 번의 시행에서 결과가 성공 또는 실패로 결정되는 시행)에서 성공 확률이 [math(p)]일 때의 확률 분포이다. 이것을 쉽게 설명하면, n번의 독립시행을 하고 각 시행마다 사건이 일어날 확률(= 성공할 확률)이 p로 일정할 때의 확률 분포이다. [math(n)]번의 시행 중 성공 횟수(사건이 일어난 횟수)가 [math(x)]회 일 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle B(x;n,p)={}_nC_x~p^x(1-p)^{n-x})] [br]{{{-2 [math(\displaystyle ※{}_nC_x=\frac{n!}{x!(n-x)!})]}}}}}} 로 표현한다. [math(n)]이 커지면 이항분포는 폭이 점점 좁아지며[* Pagano, R. R. (2012). Understanding statistics in the behavioral sciences. Cengage Learning.p230] 정규분포에 근접해 간다. [math(p)]가 0.5에 근접해 가도 마찬가지이다. 보통 [math(np \geq 10, n(1-p) \geq 10)][* 절대적인 규칙은 아니다. 교과서 및 교수마다 조금 다르게 가르치기도 한다. [math(np \geq 5, n(1-p) \geq 5)] 라고 가르치기도 한다.] 이면 이항분포 대신, 정규분포로 가정하고 확률을 계산 해도 무방하다[* 주의할점은, 연속확률변수인 정규분포를 이용하여 이산확률변수인 이항분포를 근사할경우 연속성 수정을 해줘야 한다.]. 고등학교에서는 이항분포를 이루는 각 값들의 평균, 표준편차를 구하는 법을 알려주는데[* 2015 개정교육과정에서는 증명을 생략한다], 값은 아래와 같다. (q=1-p) * [math(\displaystyle 평균:~μ=np)] * [math(\displaystyle 분산:~σ^2=npq )] * [math(표준편차:σ=\sqrt{npq})][* Pagano, R. R. (2012). Understanding statistics in the behavioral sciences. Cengage Learning.p239] 교과과정 밖 내용이긴 하지만, 분포 형태를 나타내는 아래 값들도 있다. * [math(\displaystyle 왜도:~s=\frac{q-p}σ)] * [math(\displaystyle 첨도:~κ=\frac{1-6pq}{σ^2})] 참고로 n=1 일때의 이항분포를 베르누이 분포라고 한다. {{{#!folding [증명 보기] [math(\displaystyle 기본 증명:)] [math(\displaystyle \sum_{x=0}^n{}_xP_k B(x;n,p))] [math(\displaystyle =\sum_{x=k}^n{}_xP_k\cdot{}_nC_x~p^xq^{n-x})] [math(\displaystyle =\sum_{x=k}^n\frac{\color{red}\cancel{x!}}{(x-k)!}\,\frac{n!}{{\color{red}\cancel{x!}}(n-x)!}p^xq^{n-x})] [math(\displaystyle =\sum_{x=k}^n\frac{n!}{{\color{royalblue}(n-k)!}}\,\frac{\color{royalblue}(n-k)!}{(x-k)!(n-x)!}p^xq^{n-x})] [math(\displaystyle =\sum_{x=k}^n{}_nP_k\cdot{}_{n-k}C_{x-k}~p^xq^{n-x}\quad\quad치환:~x=r+k)] [math(\displaystyle =\sum_{r=0}^{n-k}{}_nP_k\cdot{}_{n-k}C_r~p^{r+k}q^{n-k-r})] [math(\displaystyle ={}_nP_k~p^k(p+q)^{n-k})] [math(\displaystyle ={}_nP_k~p^k)] ---- [math(\displaystyle \rightarrow평균:)] [math(\displaystyle μ=\sum_{x=0}^nxB(x;n,p)\quad\quad\quad\quad\quad(x={}_xP_1))] [math(\displaystyle ~={}_nP_1~p^1)] [math(\displaystyle ~=np)] [math(\displaystyle \rightarrow분산:)] [math(\displaystyle σ^2=\sum_{x=0}^nx^2B(x;n,p)-μ^2\quad\quad(x^2={}_xP_2+x))] [math(\displaystyle \,={}_nP_2~p^2+μ-μ^2)] [math(\displaystyle \,=μ(\cancel μ-p)+μ-\cancel{μ^2})] [math(\displaystyle \,=μ(1-p))] [math(\displaystyle \,=npq)] [math(\displaystyle \rightarrow표준편차:~σ=\sqrt{npq})] [math(\displaystyle \rightarrow왜도:)] [math(\displaystyle s=\frac{\sum_{x=0}^nx^3B(x;n,p)-3μσ^2-μ^3}{σ^3})] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기