문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 환(대수학) (문단 편집) == 부분환과 확장환 == [math(R)]이 환일 때, [math(R)]의 부분집합 [math(S)]가 [math(R)]로부터 물려받은 연산에 관해 그 자신이 환이 되면 [math(S)]를 [math(R)]의 '''부분환(subring)'''이라 하고, 반대의 관계를 '''확장환(extension ring)'''이라 한다. [math(S \leq R)], [math(R/S)] 로 적는다.[* 두 표현법을 굳이 구분하자면, [math(\leq)]는 부분환을, [math(/)]는 확장환을 강조하는 뉘앙스다.][* 주로 체의 확장을 다룬다.] 이렇게만 정의해도 군의 성질에 의해 [math(0_{S}=0_{R})]을 쉽게 보일 수 있는데,[* 사실 [math(\mathbb{Z})] -가군으로 보면 더 쉽다] 문제는 곱셈의 항등원 [math(1)]이다. 벡터공간이나 군에서는 없던 다음과 같은 극악한 문제가 있다. [math(\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} )] [math(\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z})][* [math(0\mathbb{Z}\cong0)]인데, 여기서 [math(0)]은 자명환이다.]은 [math(\left(1,0\right))]을 곱셈의 항등원으로 갖고, [math(\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z})]은 곱셈의 항등원이 없고, [math(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})]은 [math(\left(1,1\right))]을 곱셈의 항등원으로 갖는다. 즉, [math(1)]을 갖는 환의 부분환이 [math(1)]이 없을 수도 있고, [math(1)]이 없는 환의 부분환이 [math(1)]을 가질 수도 있고, [math(1)]을 갖는 환의 부분환이 [math(1)]을 갖는데 그게 원래 환의 [math(1)]과 다를 수도 있다! 이는 환은 곱셈에 대하여 군이 아닐 수 있으므로 생기는 문제이다. 환론에서는 [math(1)]을 갖는 환만을 주된 연구의 대상으로 삼기도 하는데, 그 경우 이러한 복잡한 상황을 피하기 위해 부분환 [math(S)]가 곱셈의 항등원으로 [math(1_{R})]을 갖도록 제한해 버리기도 한다. 다만 이렇게 하면 이데알(ideal)은 부분환의 일종이 아니고 전혀 별개의 개념이 된다.[* 이 경우 이데알이면서 부분환인 것은 [math(R)] 자기자신밖에 없다는 명제가 성립하다.][* 때문에, 이때에는 R을 자기자신 위의 가군으로 보았을때 부분가군을 이데알이라 정의한다.] 한편, 이 문제는 [math(R)]이 [math(1)]을 갖는 환일 경우 [math(R)]-가군 [math(M)]을 정의할 때 왜 [math(1_{R}\cdot x_{M}=x_{M})]라는 조건이 필수적인지 설명해 준다. 즉, [math(R)]-가군 [math(M)]의 [math(R)]-스칼라배 구조와 아벨군 [math(M)]의 [math(\mathbb{Z})] -스칼라배 구조가 충돌하지 않기 위해서이다.[* [math(x \in M)]일 때, [math(2x = x+x= 2_{R} \cdot x)]임을 보장한다는 것이다.] 그나마 다행인 점은 [math(R)]이 정역이고, [math(S)]가항등원이 존재하는 비자명 부분환이면 [math(1_{S}=1_{R})]이 성립한다는 것이다. 이 또한 궁극적으로 소거법칙의 결과이다.[* [math(S)]에서의 등식 [math(1_{S}\cdot 1_{S}=1_{S})]와 [math(R)]에서의 등식 [math(1_{S}\cdot 1_{R}=1_{S})]를 이어붙인 뒤 양변에서 [math(1_{S})]를 소거하면 된다. 이는 부분군에서의 증명과 같다.] 부분환의 예로는 다음과 같은 것이 있다. * [math( 0<2\mathbb{Z}<\mathbb{Z}<\mathbb{Q}<\mathbb{R}<\mathbb{C}<\mathbb{H} )] 가 있다. * 한편 잉여환 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]는 [math(\mathbb{Z})] 의 준동형상(homomorphic image)이지, 부분환이 아니다. * 환 [math(R)], [math(S)], [math(T)]에 대해, [math(S 임의의 [math(\alpha\in I)]에 대해, [math(S_{\alpha} 1. [math(\left( S,+\right))]는 [math(\left(R,+\right))]의 부분군(subgroup) > 2. [math(\left(S,\cdot\right))]는 [math(\left(R,\cdot\right))]의 부분반군(subsemigroup) 와 동치이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기