[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == 가비의 이([[加]][[比]]- [[理]]) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 [[항등식]]으로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math({\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; b+d\neq 0))]}}} 이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}(I \otimes{\bold b})}{{\rm tr}(I \otimes{\bold a})}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} \\ \; \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}(I \otimes{\bold a})\neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} a_{k} \neq 0 \right) )]}}} [math(\rm tr)]은 [[주대각합]], [math(\otimes)]는 [[텐서곱]], [math(I)]는 [[단위행렬]]이다. [math({\bold a},\,{\bold b})]는 각각 [math(\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n})]을 [[벡터]]로 표현한 것이다. == [[증명]] == {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]}}} 라 하면, [math(b_{k}=Ka_{k})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=K \, \to \, \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} )]}}} 한편 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k})]는 [[선형 변환]]을 통해 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} = {\rm tr} \begin{bmatrix} a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} = {\rm tr}(I \otimes{\bold a}))]}}} 로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}(I \otimes{\bold b})}{{\rm tr}(I \otimes{\bold a})})]}}} == 심화 == 나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math({\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{xa+yc}{xb+yd}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; xb+yd\neq 0) )]}}} [[다중선형형식|새로운 변수를 얼마든지 추가해도]] 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}= \frac{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \\ \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a}) \neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} \neq 0 \right) )]}}} [math(\rm tr)]은 [[주대각합]], [math(\otimes)]는 [[텐서곱]]이다. [math({\bold x},\,{\bold a},\,{\bold b})]는 각각 [math(x_1\cdots x_{n},\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n})]을 [[벡터]]로 표현한 것이다. [math({\overline\bold x})]은 [math({\bold x})]의 [[켤레복소수|켤레]]이다. === [[증명]] === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]}}} 라 하면, [math(b_{k}=Ka_{k})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=K \, \to \, \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} )]}}} 위 문단과 마찬가지로 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k a_{k})]는 [[선형 변환]]을 통해 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} x_k a_{k} &= {\rm tr} \begin{bmatrix} x_1 a_{1} & x_2 a_{1} & \cdots & x_n a_{1} \\ x_1 a_{2} & x_2 a_{2} & \cdots & x_n a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_{n} & x_2 a_{n} & \cdots & x_n a_{n} \end{bmatrix} \\ &= {\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})\end{aligned})]}}} 로 변형할 수 있으므로[* [math(\bold x)]에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이 [[에르미트 내적|반쌍형 연산]]이기 때문이다.], 아래의 식과 동치가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})})]}}} == 활용 == 수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다. === [[피타고라스 정리]] === [[파일:나무_가비의리_피타고라스.png|width=165&align=center]] 각 [math(\rm C)]를 직각으로 하는 [[삼각형]] [math(\rm ABC)]가 있다. 점 [math(\rm C)]에서 빗변 [math(\rm AB)]에 내린 [[수선의 발]]을 [math(\rm H)]라고 하면 [[직각삼각형]] [math(\rm ABC)], [math(\rm ACH)], [math(\rm CBH)]는 각각 [[닮음]]이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{\overline {\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH}=\dfrac{\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH})]}}} 가비의 이를 적용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}&=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH}\\&=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ABC}\\\\\therefore\overline{\rm AB}^2&=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2\end{aligned})]}}} == 예제 == ||