[[분류:기하학]]
[목차]

|| [[파일:축구공.jpg|width=300]]||
|| [[축구공]] (깎은 구면 정이십면체) ||

== 개요 ==
{{{+1 [[球]][[面]] tessellation / spherical tessellation}}}

[[2차원]] 구면에서 정의되는 [[테셀레이션]].

평면 테셀레이션이 평면 다각형을 이용해 평면을 가득 채우듯, 구면 테셀레이션은 구면다각형을 이용해 구면을 채우는 테셀레이션이다. 실물로 완벽히 구현할 수 없는 [[비유클리드 기하학|쌍곡 기하학]]과 달리, [[구면 기하학]]의 도형은 [[공]] 위에 그리면 되기 때문에 가상 모형을 사용하지 않고도 나타낼 수 있다.

구면 다각형은 평면 다각형과 달리, 다각형의 크기가 커질수록 내각의 크기가 커지며, [[유클리드 기하학]]에서는 존재할 수 없는 [[일각형]]과 [[이각형]]을 사용할 수 있다.

같은 다각형의 배열이 무한히 반복되는 평면 [[테셀레이션]], 또는 [[쌍곡 테셀레이션]]과는 달리, 구면 테셀레이션을 이루는 다각형의 갯수는 유한하다.

== 정규 구면 테셀레이션 ==
=== 정다면체 대칭형 ===
[[정다면체]]와 같이 총 5종 존재한다.

정다면체 대칭형 구면 테셀레이션에는 각각 대응되는 [[정다면체|볼록 정다면체]]가 존재한다. 따라서 [[정다면체]]형 구면 테셀레이션, 또는 구면 [[정다면체]](spherical regular polyhedron) 등의 이름으로 불린다. [[쌍곡 테셀레이션]]의 경우처럼 [math(\left\{p,q\right\})]가 [math(q)]차 [math(p)]각 테셀레이션이라고도 부르지만, 구면 [math(n)]-면체의 이름을 더 많이 사용한다.

|| 종류 || 슐레플리 부호 || 대칭군 ||
|| 구면 [[정사면체]] || [math(\left\{3,3\right\})] || [math(T_d)] ||
|| 구면 [[정육면체]] || [math(\left\{4,3\right\})] ||<|2> [math(O_h)] ||
|| 구면 [[정팔면체]] || [math(\left\{3,4\right\})] ||
|| 구면 [[정십이면체]] || [math(\left\{5,3\right\})] ||<|2> [math(I_h)] ||
|| 구면 [[정이십면체]] || [math(\left\{3,5\right\})] ||
=== 이면체 대칭형 ===
호조헤드론과 이면체에 해당하는 대칭형으로, 유클리드 볼록 정다면체에 대응되는 도형은 없다. [math(\left\{2,n\right\})]은 [math(n)]각 호조헤드론([math(n)]-gonal hosohedron)이라 부르며, [math(\left\{n,2\right\})]는 [math(n)]각 이면체([math(n)]-gonal dihedron)라고 부른다. 호조헤드론과 이면체는 서로 [[쌍대]] 관계다.

이들 중 [math(\left\{2,2\right\})]는 유일하게 호조헤드론(이각 호조헤드론)이자 이면체(이각 이면체)인 도형으로, 자기쌍대 도형이다.

아래 슐레플리 부호에서 n은 유한한 [[자연수]]다. [math(\left\{2,∞\right\})]나 [math(\left\{∞,2\right\})]는 평면 도형으로 취급된다.

==== 호조헤드론 ====
경선 여러개로 구분된 [[이각형]] 여러개로 이루어진 구면 테셀레이션.

||<-9> 호조헤드론 ||
|| 슐레플리 부호 ||<width=100> [math(\left\{2,1\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,3\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,4\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,5\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,6\right\})] || ⋯ || [math(\left\{2,n\right\})] ||
|| 그림 || [[파일:일각 호조헤드론.png|width=100%]] || [[파일:이각 호조헤드론.png|width=100%]] || [[파일:삼각 호조헤드론.png|width=100%]] || [[파일:사각 호조헤드론.png|width=100%]] || [[파일:오각 호조헤드론.png|width=100%]] || [[파일:육각 호조헤드론.png|width=100%]] || ⋯ || ||

==== 이면체 ====
적도에 경계선이 되는 다각형이자 대원이 하나 있고, 이로 구면 전체가 둘로 양분되는 형태의 구면 테셀레이션. 경계선에 점을 찍어놓지 않으면 경계선이 모두 대원이므로, 몇 각형 이면체인지 구분되지 않는다.

||<-9> 이면체  ||
|| 슐레플리 부호 ||<width=100> [math(\left\{1,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{2,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{3,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{4,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{5,2\right\})] ||<width=100> [math(\left\{6,2\right\})] || ⋯ || [math(\left\{n,2\right\})] ||
|| 그림 || [[파일:일각 이면체.png|width=100%]] || [[파일:이각 이면체.png|width=100%]] || [[파일:삼각 이면체.png|width=100%]] || [[파일:사각 이면체.png|width=100%]] || [[파일:오각 이면체.png|width=100%]] || [[파일:육각 이면체.png|width=100%]] || ⋯ || ||