[include(틀:다른 뜻1, other1=수학 외의 분야에서 군을 응용하는 방법이나 그 사례, rd1=군론)]
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== 개요 ==
군(群, group)
군은 어떤 집합에 두 원소의 연산인 [[이항연산]](binary operation)이 주어진 구조로 집합과 연산을 묶어서 표기한다. [* (N,+)과 같은식으로], 군은 가장 쉽게 접할 수 있는 기본적인 대수적 구조이며 우리가 배우는 [[정수]], [[유리수]], [[실수]], [[복소수]] 위에서의 [[덧셈]], [[곱셈]]등이 군에 속하며 행렬의 곱셈 또한 군 구조를 가진다.
정확한 수학적 정의는 다음과 같다. 집합 의 이항연산 [* 여기서 *은 곱셈이 아니다.][* 두 원소 와 에 대해 의 원소 를 대응시키는 것. 엄밀히 말하면 함수 이다.] 이 다음 조건을 만족할 때, 를 군이라 한다.
1. (결합법칙; association law) 임의의 세 원소 에 대해,[br].
1. (항등원의 존재; existence of indentity) 이 존재하여,의 임의의 원소 에 대해,[br][br]항등원은 존재하면 유일하므로[* 도 항등원이면 이므로 유일하다.] 이 원소를 , , 등으로 적는다.
1. (역원의 존재; existence of inverse) 임의의 에 대해, 가 존재하여,[br][br]역원은 존재하면 유일하므로[* 도 의 역원이면 이므로 유일하다.] 이 원소를 로 적는다.
여기서, 위의 정의 중 부분만을 만족시키는 대상들에 대해 반군(1만을 만족), [[모노이드]](1, 2만을 만족) 등의 이름이 있다.
가끔 좀 별난 교과서에서는 2와 3을 결합법칙 전제하에서 다음과 같이 대체하기도 한다.
1. 좌항등원의 존재: 이 존재하여,의 임의의 원소 에 대해,[br]
1. 좌항등원의 좌역원의 존재: 임의의 에 대해, 가 존재하여,[br]
마찬가지로 결합법칙 전제하에 우항등원이 존재하고 우항등원의 우역원이 존재한다로도 군이 된다. 물론 좌항등원이 존재하고 좌항등원의 우역원이 존재한다 같은 걸로는 안 된다. 증명은 다음을 [[https://math.stackexchange.com/a/174035|참조]]
=== 군의 직관적 이해 ===
군이라는 대상을 처음 접하는 학생들은 위에서 서술한 군의 정의를 한 번에 이해하기 힘들기 때문에 정의를 무작정 외우고 이해하기보다는 여러 가지 예시를 통해서 이해하는 것이 좋다. ~~정의에 너무 집착하지 말란 말이다~~
군은 대칭성을 가지는 구조의 움직임에서 자연스럽게 유도된다. 예를 들어, [[루빅스 큐브]]의 움직임들을 모아놓은 집합은 군(Group)이다! [* 가만히 놔두는 것을 항등원, 돌렸던 것과 정확히 반대로 돌리는 것을 역원이라고 정의하면 위에 있는 세 가지 군의 공리를 모두 만족한다!]
눈치 빠른 위키니트들이라면 루빅스 큐브의 예에서 이미 알아차렸겠지만, 저기 있는 세 가지 공리는 자기자신으로 가는 일대일 대응들을 모아놓았을 때 자연스럽게 생기는 성질이다.
1. (결합법칙): 결합법칙은 함수가 가지고 있는 자연스러운 성질이다
2. (항등원의 존재): 항등함수[* 모든 원소가 자기자신에 대응되는 함수 ]는 자기 자신으로 가는 일대일 대응 중 하나이다
3. (역원의 존재): 자기 자신으로 가는 어떤 일대일 대응 f의 역함수 g도 자기자신으로 가는 일대일 대응 함수이다.
즉, 어떤 대상이 "대칭" 구조만 있으면 자연스럽게 그 대상에 대응하는 군을 만들어 볼 수 있다. 심지어 아무 대칭구조가 없는 대상이라 할지라도![* 이 경우 원소가 항등원 하나인 자명군(trivial group)만 유도할 수 있다.]
이와 같이 군을 처음 배우는 사람들은 군의 개념은 어느 순간 뚝 하고 만들어진 것이 아니라 정다각형[* 이 경우 아래 설명할 이면군, 고등학교 때 배운 염주순열을 생각하면 쉽다], 정다면체, 원, 좌표평면, 다항식과 같은 수학적 대상의 대칭성을 생각하다가 자연스럽게 만들어졌다는 것을 이해해야 한다
=== 이해를 돕기 위한 예시 ===
==== 덧셈에 대한 정수군 ====
위는 순수한 집합의 개념 위에서 이항연산을 정의하는 표현이라 대수학을 공부한 사람이 아니면 직관적으로 이해되지 않을 수 있다. 쉬운 이해를 위해서는 대신 정수의 집합 를 이항연산은 덧셈()으로 생각하여 를 생각하면 된다. 항등원은 당연히 이다. [* 참고로 정수의 집합 는 군을 넘어 [[환]]이 된다.]
1. 덧셈에 대한 결합법칙: 이 성립한다.
1. 덧셈에 대한 항등원: 인 0 이 존재한다.
1. 덧셈에 대한 역원: 를 만족하는 가 항상 존재한다.
참고로 자연수의 집합 에는 덧셈에 대한 항등원 이 존재하지 않으므로 은 반군이다. 그리고 을 포함한 자연수의 집합 는 항등원은 존재해도 역원은 존재하지 않으므로 은 모노이드가 된다. 곱셈에 대하여 생각하면 는 항등원이 존재하지만, 역원은 존재하지 않기에 모노이드가 된다.
==== 이면군(dihedral group) ====
~~염주순열~~
자연수 에 대해, 이면군은 로 정의된다.[* 이란 점 때문에 라 적기도 한다.]
이면군을 상상하려면 정-각형 을 생각하면 된다. 의 모양을 그대로 두는[* 변환 후에 바뀌었는 지 알아차릴 수 없는] 변환은, 만큼 회전('''r'''otation), (꼭짓점과 중심을 잇는 선으로)뒤집기('''f'''lip)[* 그 선을 기준으로 선대칭 ]와 그것을 연속으로 적용한 것이 전부임을 직관적으로 알 수 있을 것이다. 회전과 뒤집기를 각각 , 라 하면, 이다.
돌리고 뒤집기와 뒤집고 돌리기는 다르므로(뒤집으면 방향이 바뀌니까!) 이것은 아래 설명할 가환군(abelian group)이 아니다. ~~집에서도 간단히 해볼 수 있다. 꼭 해보자~~ ~~교환법칙 성립하지 않는 게 마치 행렬이나 함수를 보는 듯하다~~
==== [[대칭군]](symmetric group) ====
문서 참조
== 다른 수학 분야에서의 응용 ==
많은 상황에서 군은 '''대상들의 변환을 서술하는 도구'''로 사용된다. 군의 원소 각각이 집합 의 원소들을 섞어 놓을 때, 즉 집합 의 일대일대응 함수라고 생각할 수 있을 때, 이를 [[군의 작용]](group action)이라 한다. 관점에 따라서는 [[대칭군]]으로 볼 수도 있다.
예를 들어서 "정육면체의 면에 가지 색을 칠하는 방법의 개수는? 단 돌렸을 때에 같은 것은 같다고 한다." 같은 문제를 생각해 보자. '정육면체를 돌리는 법'의 집합을 생각하고, 연산을 변환의 합성 (즉 한 번 돌리고 다른 방법으로 돌리는 것)으로 정의하면 이것은 군이 되고, 이 문제도 따라서 군론의 관점에서 접근할 수 있다. [* 군론을 배운 위키러들이라면, 자세한 것은 [[ http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%88%EC%82%AC%EC%9D%B4%EB%93%9C_%EB%B3%B4%EC%A1%B0%EC%A0%95%EB%A6%AC|번사이드 보조정리]]를 참고하기 바란다.] 이와 비슷한 예로 [[루빅스 큐브]]의 조작들을 군이라 할 수 있다.
다른 예로 [[일차 변환]] 중 [[유니타리 행렬|거리를 보존하는 행렬]]들의 모임은 군을 이루고, 이들은 벡터공간 에 작용한다고 볼 수 있다. (애초에 일차변환의 정의가 인 함수이므로.) 이 일차변환 중 강체운동(rigid motion)만을 생각한다면 이를 유클리드 [[기하학]]이라 볼 수 있는 것.
물리에서 군론은 매우 중요하게 사용되는데, 헤르만 바일(Hermann Weyl)이나 에미 네터(Emmy Noether) 등에 의해 물리학의 보존법칙(운동량 보존, 에너지 보존 등)이 항상 변환에 대한 불변성으로 해석될 수 있음을 보인 이후이다. 이 '변환에 대한 불변성'은 일반적으로 '''대칭성'''이라 불리고, 현대물리학의 거의 모든 분야의 화두가 된다.
== 부분군(subgroup) ==
말 그대로, 군 속의 군이다. 정의는 다음과 같다.
군 에서 의 부분집합 가
1. (닫힘성)임의의 에 대해 ,
1. (항등원의 존재) 는 의 항등원을 포함.
1. (역원의 존재)임의의 에 대해, (는 의 에서의 역원)
을 만족하면 군 를 의 __'''부분군(subgroup)'''__이라 한다. (쉽게 말해 주어진 군 내부에서 다시 군을 이루는 군)
항등원의 집합 는 항상 군이 되고, 이를 __자명한 부분군__(trivial subgroup)이라 한다. 자기 자신 G가 아닌 부분군을 __진부분군__(proper subgroup)이라 하고, 이는 __비자명 부분군__(nontrivial subgroup)과 구분되어야 한다.
부분군의 정의에서 1과 3 둘을 합쳐서 "임의의 에 대해 "인 필요충분조건으로 대체될 수 있고, 아예 이걸 닫힘성이라고 쓰기도 한다. 항등원의 존재성은 (닫힘성 전제 하에) 가 공집합이 아니라는 조건으로 바꾸어 쓸 수 있다.[* 대수학을 처음 배우는 사람들이 흔히 다음과 같은 실수를 하기도 한다. "의 역원의 존재에 의해 이면 이고, 따라서 닫힘성에 의해이다. 따라서 항등원의 존재성은 위 정의에서 불필요한 내용이다." 틀린 이유는 의 원소 가 아예 없을 수도(가 공집합일 수도) 있다는 것이다. 이 경우 닫힘성과 역원의 존재는 Vacuous truth가 되어 참이 된다.]
보통 주어진 집합이 부분군임을 쉽게 확인하기 위해 쓰이는 성질. 하지만 이 정의 또는 조건들에서 어느 부분이라도 빠지면 부분군이 되지 않는다. 가 유한집합이면 닫힘성을 까지만 확인하더라도 [[https://math.stackexchange.com/questions/475966/proof-that-a-subset-closed-under-group-operation-of-a-finite-group-is-a-subgroup|괜찮지만]], 무한집합에서는 반례가 있다. 예를 들면 정수의 부분집합인 자연수(0포함).
부분군은 어느 대수구조에나 있는 '부분집합이 다시 같은 대수구조가 되는' 대상이다. [[선형대수학]]을 먼저 배우고 [[군론]]을 학습한다면, 부분공간(subspace)의 수많은 성질들이 부분군에 적용됨을 알 수 있을 것이다. (부분군의 부분군은 부분군, 생성부분군의 존재성 등등) 하지만 [[군론]]에서 부분군의 대접은 부분공간과는 미묘하게 차이가 있는데, 부분공간이 만족시키는 성질들 중 만족시키지 않는 것이 상당히 많기 때문이다. 군론에서 제대로 된 '부분대상'으로 쳐 주는 것은 사실상 아래에 후술할 __정규부분군__(normal subgroup)이다.[* 아무래도 정확한 의미는 나중에 가서 범주론(category theory)을 학습해야 알 수 있겠지만, 대충이라도 감을 갖고 있으면 학습 시 상당히 도움이 된다.] 물론 그렇다고 정규부분군이 아닌 부분군들이 푸대접을 받는다는 것은 절대 아니고, 다만 다른 대수학과는 다른 군론 특유의 방법론으로 연구된다는 것이다. ~~덕분에 군론이 어렵다~~
=== 관련된 정리들 ===
(는 군이고,