[[분류:기하학]]
[목차]
== 개요 ==
원론(The Elements 또는 기하학 원론) 또는  유클리드 원론(The Elements of Euclid)은 기원전 300년 무렵에 [[유클리드]]가 편찬한 기하학책이다. 수학의 성과를 집대성하여 체계화한 수학의 고전으로, 평면 기하 6권, 수론(數論) 4권, 입체 기하 3권으로 되어 있다. 총 13권이다.[* 우리말샘] [* 프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books - [[https://www.gutenberg.org/ebooks/21076]]][* \[전집 총13권 3부작\](archive.org) The thirteen books of Euclid's Elements by Euclid; Heath, Thomas Little, Sir, Volume 1 영문판 1908(1956) [[https://archive.org/details/thirteenbookseu02heibgoog/page/n14/mode/2up|#]] Volume1(436P),Volume2(464P),Volume3(422P)     ]

== 제1권 법칙 33 ==
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제1권 법칙33은 밑변 선분 <math>\mathrm{CD}</math>가 선분 <math>\mathrm{AB}</math>와 평행하고 그 길이가 같다면 또한 선분 <math>\mathrm{AC}</math>가 선분 <math>\mathrm{BD}</math>와 평행하고 그 길이가 같다는 평행사변형의 정리.
이것은 삼각형의 넓이 <math>\left( {{1}\over{2}} \cdot 밑변 \cdot 높이 \right)</math>는 사각형의 넓이의 <math>{{1}\over{2}} </math>임을 말하며 유클리드 기하학의 주요 핵심이다.

== 제1권 법칙 34 ==
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제1권 법칙34는 밑변 선분 <math>\mathrm{CD}</math>가 선분 <math>\mathrm{AB}</math>와 평행하고 그 길이가 같다면 그리고 또한 선분 <math>\mathrm{AC}</math>가 선분 <math>\mathrm{BD}</math>와 평행하고 그 길이가 같다.(제1권 법칙 33)
이러한 [[평행사변형]]은 [[맞모금]](또는 대각선) 선분 <math>\mathrm{BC}</math>에 의해 이등분된다는 것이다. 

== 제1권 법칙 37 ==
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제1권 법칙37은 대표적인 [[등적변형]](equiareal transform)의 예이다. 밑변 선분 <math>\mathrm{BC}</math>를 공통으로 갖는 두 삼각형 <math>\mathrm{ABC}</math>와 <math>\mathrm{DBC}</math>가 그들의 윗 [[꼭짓점]]에서 서로 연결한 선분 <math>\mathrm{AD}</math>가 밑변 선분 <math>\mathrm{BC}</math>와 서로 평행하다면 제1권 법칙33에 의해서 선분 <math>\mathrm{AD}</math>의 연장선인 선분 <math>\mathrm{EF}</math>에서 역시 <math>\mathrm{AC}</math>에 평행한 <math>\mathrm{EB}</math>를 구할수있고 <math>\mathrm{BD}</math>에 평행한 <math>\mathrm{CF}</math>를 구할수있다. 따라서 제1권 법칙34에 의해서 평행사변형 <math>\mathrm{ACBE}</math>는 평행사변형 <math>\mathrm{DBCF}</math>와 그 크기가 같고, 따라서 삼각형 <math>\mathrm{ABC}</math>와 <math>\mathrm{DBC}</math>가 각각 사각형 <math>\mathrm{ACBE}</math>와 <math>\mathrm{DBCF}</math>를 이등분한다는 것이다.

>  Triangles (ABC, DBC) on the same base (BC) and between the same parallels (AD, BC) are equal.
> 같은 밑변(BC)과 같은 평행선(AD, BC) 사이의 삼각형(ABC, DBC)은 같습니다. (제1권 법칙 37)

== 제1권 법칙 47 ==
제1권 법칙47은 [[피타고라스 정리]]를 [[등적변형]] 및  평행사변형의 정리(제1권 법칙33,34,37등)를 사용하여 기하학적으로 설명하고있다.[* THE FIRST SIX BOOKSOF THEELEMENTS OF EUCLID,ANDPROPOSITIONS I.-XXI. OF BOOK XI.,AND ANAPPENDIX ON THE CYLINDER, SPHERE,CONE, ETC.,WITHCOPIOUS ANNOTATIONS AND NUMEROUS EXERCISES.BYJ O H N C A S E Y, LL. D., F. R. S.,[[프로젝트 구텐베르크]] -https://www.gutenberg.org/ebooks/21076]
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선분 <math>\mathrm{AC}</math>와 선분 <math>\mathrm{AK}</math>가 그 길이에서 같고 선분 <math>\mathrm{AB}</math>와 선분 <math>\mathrm{AG}</math>가 또한 그 길이에서 같다. 따라서 삼각형 <math>\mathrm{AKB}</math>는 삼각형 <math>\mathrm{AGC}</math>와 같다.

계속해서 제1권 법칙37에 의해서 밑변 선분 <math>\mathrm{AK}</math>를 공통으로 갖는 <math>\triangle\mathrm{AKB}</math>는 사각형인 평행사변형 <math>\mathrm{AKHC}</math>를 이등분하는 크기의 삼각형이다.

또한 밑변 선분 <math>\mathrm{AG}</math>를 공통으로 갖는 삼각형 <math>\mathrm{AGC}</math>는 사각형인 평행사변형 <math>\mathrm{AGLO}</math>를 이등분하는 크기의 삼각형이다.

그리고 <math>\triangle\mathrm{AKB}</math>와 <math>\triangle\mathrm{AGC}</math>는 같다.

따라서 사각형 <math>\mathrm{AKHC}</math>는 <math>\mathrm{AGLO}</math>와 같고 이와같이 사각형 <math>\mathrm{CBED}</math>는 <math>\mathrm{BOLF}</math>와 같다.

따라서
 <math>\square \mathrm{AKHC} + \square \mathrm{CBED} = \square \mathrm{AGLO} + \square \mathrm{BOLF}</math>
<math>\overline{\mathrm{AC}^2} + \overline{\mathrm{CB}}^2 = \left( \overline{\mathrm{AO}} + \overline{\mathrm{BO}} \right)^2</math>
<math>\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{CB}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2</math>

== 관련 문서 ==
 *[[호(수학)|호]]
 *[[유클리드]]