[[분류:산술]][[분류:측량]][[분류:도량형]] [include(틀:과학 연구·실험)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[單]][[位]][[變]][[換]]}}} [[도량형|단위]]를 바꾸는 것. 단위 환산(換算)이라고도 한다. [[물리량]]의 단위는 다양하다. 길이만 보더라도 [[미터]]([math(\rm m)])에 [[국제단위계/접두어|SI 접두어]]가 붙어 파생된 다양한 단위들([math(\rm mm)], [math(\rm cm)], [math(\rm m)], [math(\rm km)] 등)이 있는가 하면, 나라에 따라서는 [[인치]]([math(\rm in)]), [[피트]]([math(\rm ft)])를 표준 단위로 지정하는 등 세계적으로 여러 단위가 같이 쓰이고 있는 상황이다. [[차원(물리량)|차원]] 문서에도 나와있듯이 차원이 같은 물리량이라 하더라도 수학적인 연산을 하기 위해서는 같은 단위로 맞출 필요가 있고[* [[국제단위계]]는 [[국제단위계/접두어|접두어]]가 10의 제곱수라 접두어 간 환산이 쉽지만, 전통 단위계([[제국 단위계]], [[미국 단위계]], [[척관법]] 등)는 단위 간 차이가 [[개판 5분 전]]이라 두 단계만 차이나도 [[노가다(수학)|노가다]]를 피할 수 없다. 숫자가 깔끔하지 않기는 해도 일단 ~~계산기를 준비하고~~본 문서에서 설명할 방법만 잘 따르면 무리없이 환산할 수 있다.], 굳이 연산이 목적이 아니더라도 나라마다 쓰는 국가 표준 단위에 맞추기 위해 단위를 바꾸어야 할 일은 많다.[* 이걸 안 해서 생긴 문제로 [[에어 캐나다 143편 불시착 사건]], [[대한항공 6316편 추락 사고]], [[화성 기후 궤도선]] 폭발 사건 등이 일어났다.] == 원리 == [include(틀:관련 문서, top1=준동형 사상)] 기본적으로 [[선형 변환|선형사상]](linear map)을 따른다. [[차원분석]] 시 나오는 [[벡터 공간#s-5.2|기저]]에 적절한 [[사칙연산]]을 한다고 생각하면 된다. 차원이 같고 단위(unit)만 [math(\rm u_1)], [math(\rm u_2)]로 다른[* 바꿔 말하면, [math(\rm u_1)], [math(\rm u_2)]가 다른 차원일 경우 성립하지 않는다.] 물리량(quantity) [math(Q_{\rm u_1})], [math(Q_{\rm u_2})]가 있다고 하자. 각 단위로 나타낸 값(value)을 [math(\rm v_1)], [math(\rm v_2)]라고 할 때, 이를테면 속도([math(v)])를 나타낸 식 [math(v = 20{\rm\,km/h})]이나 시간([math(t)])을 나타낸 식 [math(t = 30{\rm\,s})]처럼 물리량은 수치와 단위가 곱셈으로 연결된 관계식과 같으므로[* 길이를 떠올리면 이를 직관적으로 이해할 수 있는데 [math(l = 5{\rm\,cm})]라는 것은 어떤 것의 길이([math(l)])를 [math(\rm1\,cm)] 길이의 자로 쟀을 때 그 자가 [math(5)]개 필요함([math(5{\rm\,cm} = 5\times1{\rm\,cm})])을 의미한다. 즉, [math(l = 5{\rm\,cm})]란 [math(l = 5\times{\rm cm})]이며 [math(\rm cm)] 앞에 [math(1)]이 생략된 것으로 이해하면 된다.] || [math(\begin{aligned} Q_{\rm u_1} &= {\rm v_1\,u_1} \\ Q_{\rm u_2} &= {\rm v_2\,u_2}\end{aligned})] || 가 된다. 이때 수치[* 물리량이 아닌 수치임에 주의. 물리량의 관계식을 나타낼 때에는 차원과 단위를 일치시켜야하는데, 물리량과 단위는 각각 저마다의 차원과 단위를 포함하므로 단위 변환의 관계식에 쓰일 수 있는 것은 [[차원(물리량)|차원]]이 [math(\sf1)]([[무차원량]])로 같은 수치 뿐이다. 많은 교과서에서 쓰이는 물리량으로 나타낸 관계식은 엄밀하게는 '''틀린 표기'''이다.] [math(\rm v_1)]과 [math(\rm v_2)] 사이에 어떤 관계식이 성립할 때, 즉 [math({\rm v_2} = f({\rm v_1}))]의 함수 관계([[선형사상]])가 성립한다면 위 수식으로부터 [math({\rm v_2} = \dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2})], [math({\rm v_1} = \dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1})]이므로 ||
[math(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2} = f{\left(\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\right)})] || 로 나타낼 수 있고, 최종적으로 단위 [math(\rm u_1)]으로 나타낸 물리량을 [math(\rm u_2)]를 단위로 하는 값으로 환산하는 식은 ||
[math(Q_{\rm u_2} = f{\left(\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\right)}\,{\rm u_2})] || 이다. 이 식이 두 물리량의 차원과 단위를 모두 포함하는 가장 근본적인 기본 변환식이다. [math(f)]가 선형사상임에 따라 [[함수#s-4.1|전단사]]이므로[* [[선형대수학의 기본정리]] 참고.], [[역함수|역변환]] 역시 가능하다. ||
[math(Q_{\rm u_1} = f^{-1}{\left(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2}\right)}\,{\rm u_1})] || === 약식 변환식 === 기본 변환식은 물리량과 단위를 모두 포함하므로 웬만하면 계산 과정에 실수가 없다는 장점이 있으나 그 형태가 기본적으로 [[분수(수학)|분수]]를 포함하고, 후술하겠지만 [[적분]]식이 포함되기도 하는 등 복잡하기 때문에 실생활에서 빠르게 이용하기엔 적절하지 않다. 이때 [[온도]]를 제외한 대부분의 단위들은 그 관계가 [math(f({\rm v}) = k{\rm v}\ (k\neq 0))]꼴의 [[비례·반비례#s-1.1|비례관계]]라는 사실을 이용하면 기본 변환식에서 물리량을 생략한, 좀 더 실용적인 약식 변환식을 유도할 수 있다. 차원이 같고 단위가 다른 두 물리량의 각 수치 사이에 비례관계가 성립할 때 기본 변환식은 ||
[math(Q_{\rm u_2} = k\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\,{\rm u_2})] || 으로 나타낼 수 있고, 좌변에 [math(\rm u_2)]만이 남도록 적절히 이항해주면 ||
[math({\rm u_2} = \dfrac1k\dfrac{Q_{\rm u_2}}{Q_{\rm u_1}}\,{\rm u_1})] || 이 되는데 여기서 [math(Q_{\rm u_1})], [math(Q_{\rm u_2})]는 똑같은 관측 대상을 단지 다른 단위로 나타낸 것에 불과하므로 [math(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{Q_{\rm u_1}} = 1)]이며 물리량 기호를 생략한 약식 변환식은 ||
[math({\rm u_2} = \dfrac1k\,{\rm u_1})] || 이 된다. 다만 __양변의 차원이 일치하는 지__를 염두에 둬야 하는 주의점이 있다. 이를 간과한 사례 중 하나가 [[우주의 팽창에 관하여]]이다. == 방법 == 아래에 제시된 방법은 모두 서로 다른 단위 체계가 '''비례관계에 있을 때에만 사용 가능'''하다. 후술하겠지만 비례 관계임이 확실하지만 대수적으로[* 즉, 사칙연산과 [[제곱근|근호]]를 유한 번 사용해서]는 구할 수 없거나, 대수적인 수이지만 [[환원 불능]][* 환원 불능이 나오는 대표적인 경우로 [[삼차방정식]]이 있다. [[인수분해]]가 되지 않는 유리계수 삼차방정식의 근이 모두 실근이고 무리수일 경우, 해당 근들은 모두 환원 불능이 된다. 애당초 환원 불능이라는 말을 [[지롤라모 카르다노]]가 삼차방정식의 해법을 찾는 과정에서 만들었다.]인 경우도 있기는 하다. 구체적으론 [[원주율]] [math(\pi)] 혹은 [[로그(수학)|로그]]의 밑 변환 과정에 튀어나오는 [math(\log_{10}e)] 혹은 [math(\ln10)] 따위의 [[초월수]]를 비롯한 [[무리수]]를 포함하는 경우로, 구체적인 값으로서 근삿값을 쓰는 수 밖에 없는 사소한 경우에 지나지 않는다.[* 수학과는 달리 과학 쪽은 __계산에 들어가는 값이 [[불확도|참값이 아님이 전제되는 경우]]__가 많아서 근삿값 사용에 너그러운 편이다.] 즉, 기본적으로 비례관계라면 아래 방법들은 모두 통용된다. 또한 실험 등 연구활동 도중 단위 변환을 위한 계산을 한다면 [[유효숫자]]의 연산 규칙을 따라야 한다. === [[이항#s-2|항등원 이용]] === 같은 관측 대상이 단지 다른 단위로 나타내어진 상황, 즉 [math(Q_{\rm u_1} = Q_{\rm u_2})]가 된 상황을 가정하자. 앞서 [math(Q_{\rm u_1} = {\rm v_1\,u_1})], [math(Q_{\rm u_2} = {\rm v_2\,u_2})]였으므로 ||
[math({\rm v_1\,u_1} = {\rm v_2\,u_2})] || 에서 양변을 [math({\rm v_1\,u_1})]로 나누면 ||
[math(\dfrac{\rm v_2\,u_2}{\rm v_1\,u_1} = 1)] || 로 [[곱셈]]의 [[항등원]]인 [math(1)]이 얻어진다. [math(1)]은 곱해도 원래 수치에 영향을 주지 않으므로, 처음 주어진 단위가 약분이 되어 구하고자 하는 단위만 남도록 좌변의 분수식 혹은 그 역수를 적절하게 곱하여 변환한다. ==== 예시 ==== ||'''[예제1]''' 영수는 표준 사용 면적이 [math(26.4{\rm\,m^2})]인 공기 청정기를 자신의 [math(7)]평 원룸에 설치하려 한다. 공기청정기의 성능이 충분한지 판단하여라.(단, 면적 외 다른 변수는 고려하지 아니한다.) || ||[math(1)]평 [math(=3.3{\rm\,m^2})]이므로 [math((1)]평[math(/{\rm3.3\,m^2}) = 1)]이며 공기 청정기의 표준 사용 면적을 평 단위로 환산하면 [math(26.4{\rm\,\cancel{m^2}}\times(1)]평[math(/{\rm3.3\cancel{m^2}}) = 8.0)]평 이고 이는 영수의 원룸 [math(7)]평보다 크므로 공기청정기의 성능은 충분하다. || 만약 여러 개의 단위가 엮여있다면 분자, 분모 관계를 잘 고려해서 분수식을 여러 번 곱하면 된다. 직접 해 보자. ||'''[예제2]''' 영수는 모종의 실험으로부터 [math(v = 45{\rm\,m/s})]라는 결과를 얻었다. 이를 [math(\rm\,km/h)] 단위로 나타내어라. || ||{{{#!folding [ 풀이 보기 · 접기 ] [math(\begin{aligned} 1000{\rm\,m} = 1{\rm\,km} &\Leftrightarrow \dfrac{\rm km}{\rm1000\,m} = 1 \\ 3600{\rm\,s} = 1{\rm\,h} &\Leftrightarrow \dfrac{\rm3600\,s}{\rm h} = 1\end{aligned})] 이므로 [math(\begin{aligned} v &= 45{\rm\,m/s} \\ &= \dfrac{\rm45\,\cancel{\color{red}m}}{\rm\cancel{\color{blue}s}}\times\dfrac{\rm km}{\rm1000\,\cancel{\color{red}m}}\times\dfrac{\rm3600\,\cancel{\color{blue}s}}{\rm h} \\ &= \dfrac{\rm45\,km}{\rm h}\times\dfrac{3600}{1000} \\ &= \rm45\,km/h\times3.6 \\ &= \rm162\,km/h\end{aligned})] }}} || === [[치환#s-2.1|직접 대입법]] === 약식 변환식 [math({\rm u_2} = \dfrac1k{\rm\,u_1})]을 가만히 살펴보면 단위를 변수처럼 이용할 수 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 비례상수 [math(k\biggl()]혹은 [math(\left.\dfrac1k\right))]값만 알고 있다면 단위 자체에 변환식을 직접 대입해서 구하고자 하는 단위로 훨씬 빠르게 환산을 할 수 있다. ==== 예시 ==== ||'''[예제]''' [math(0{\rm\,\degree\!C})]에서 수은의 밀도는 [math(13.5951{\rm\,g/cm^3})]이다. 이 온도에서 표준 [math(1{\rm\,atm})]([math(1)]기압)은 [math(760{\rm\,mmHg})]라고 할 때 [math(1{\rm\,atm})]의 값을 파스칼([math(\rm Pa)]) 단위로 나타내어라. (단, 표준 중력가속도 [math(g_{\rm n} = 9.806\,65{\rm\,m/s^2})]이다.) || ||압력은 단위 면적당 힘이므로 (대기압)[math(=)](수은의 무게)[math(\div)](수은주의 단면적) 관계에 있다. (무게)[math(=)](질량)[math(\times)](중력가속도)인데 (질량)[math(=)](밀도)[math(\times)](부피)이며 수은주(수은 기둥)에서는 (부피)[math(=)](단면적)[math(\times)](높이)이므로 (대기압)[math(=)](밀도)[math(\times)](단면적)[math(\times)](높이)[math(\times)](중력가속도)[math(\div)](단면적)이고 정리하면 (대기압)[math(=)](밀도)[math(\times)](높이)[math(\times)](중력가속도)가 된다. [math(760{\rm\,mmHg})]란 곧 수은주의 높이가 [math(760{\rm\,mm})]라는 것이며 [math(\rm Pa = N/m^2 = (kg{\cdot}m/s^2)/m^2 = kg/(m{\cdot}s^2))]이므로 변환해야할 단위는 [math(\rm\color{red}g)], [math(\rm\color{blue}cm^3)], [math(\rm\color{green}mm)]이다. [math(\begin{aligned} \rm\color{red}g &= \rm\dfrac1{1000}\,kg = \color{red}10^{-3}\,kg \\ \rm\color{blue}cm^3 &= \rm{\left(\dfrac1{100}\,m\right)}^3 = \rm\dfrac1{10^6}\,m^3 = \color{blue}10^{-6}\,m^3 \\ \rm\color{green}mm &= \rm\dfrac1{1000}\,m = \color{green}10^{-3}\,m \end{aligned})] 이므로 주어진 값을 이용하여 한꺼번에 계산하면 [math(\begin{aligned} \rm1\,atm &= \rm(13.5951\,{\color{red}g}/{\color{blue}cm^3})\times(760\,{\color{green}mm})\times(9.806\,65\,m/s^2) \\ &= \rm{\left(13.5951\,\dfrac{\color{red}\cancel{10^{-3}}\,kg}{\color{blue}\cancel{10^{-6}}\,m^3}\right)}\times(760\times{\color{green}\cancel{10^{-3}}\,m})\times(9.806\,65\,m/s^2) \\ &\approx \rm101\,325\,kg/(m{\cdot}s^2) = 101\,325\,Pa \end{aligned})] || == 위 방법을 이용할 수 없는 경우 == 크게 두 가지 경우로 나눌 수 있다. * '''비례 관계임이 확실하지만 대수적으로는 구할 수 없거나, 대수적인 수이지만 [[환원 불능]](casus irreducibilis)인 경우''' 항상 근삿값으로밖에 나타낼 수 없다. [[원주율]] [math(\pi)] 혹은 [[로그(수학)|로그]]의 밑 변환 과정에 튀어나오는 [math(\log_{10}e)] 혹은 [math(\ln10)] 따위의 [[초월수]]를 비롯한 [[무리수]]를 포함하는 케이스로, [[디랙 상수]] [math(\hbar)]가 대표적이다. [math(\hbar)]는 엄밀하게는 [[플랑크 상수]] [math(h)]에 대한 아래의 [[적분]]식 || [math(\begin{aligned} h &= 2\hbar \cdot \int^1_{-1} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2 \int^1_0\frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2\int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \\ &= 2\hbar \cdot 4\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \end{aligned})] || 을 이용해야 하지만, 수렴이 매우 느리기[* 가령 세번째, 네번째 식은 [[테일러 급수/목록#s-5.1.1|아크탄젠트의 테일러 전개]]를 이용하는데, 무려 '''십만''' 개의 항까지 계산해야 적분항의 값이 [math(3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots)]이 된다.] 때문에 보통은 [[원주율#s-5|미리 구해 둔 수렴값]]을 일정 자리수 이하로 근사해서 이용한다.[* 실제로 [[제트추진연구소]]에서는 원주율의 근삿값으로서 [[https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/|로켓 및 인공위성을 만들 때에는 소수점 아래 15자리, 우주 둘레 계산 시 소수점 아래 40자리를 이용한다고 한다]].] 또 하나의 예로 [[파섹]]이 있는데, 파섹은 본디 아래와 같이 || [math(\begin{aligned}1\,{\rm pc} &= \cot {\left( \frac{\pi}{648000} \right)}{\rm\,au} \\&= i + \frac{2i}{\operatorname{cis}(\pi/324000)-1}\,{\rm au} \end{aligned})][* [math(\operatorname{cis})]는 [[허수지수함수]]이다.] || 와 같이 정의되나, 마찬가지로 식이 닫힌 꼴이 되지 않는다. 이 문제 때문에 2015년부터는 [[국제천문연맹]]에서 파섹의 정의를 [[https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2015_English.pdf|위의 디랙 상수와 비슷한 방식으로 바꾸었다]]. ~~결론적으로는 [[옆그레이드]]~~ [[백분율|퍼센트]]/[[퍼밀]]로 표시된 [[경사도]]를 [[각도]]로 환산하는 과정 역시 이런 식이다. 그러나 기본적으로 수학 상수들은 [[유효숫자]]의 자릿수가 무한개인 것으로 간주하기 때문에, 유효숫자의 개수가 적은 다른 측정값이나 [[물리 상수]]들이 구체적인 결과값을 결정한다고 보면 된다. 즉, [[공학용 계산기]]를 쓸 수 있는 상황이라면 좀 더 정밀도가 높은 값을 얻기 위해 구태여 적은 자릿수로 근사하지 말고 메모리에 저장된 각 값을 그대로 쓰는 게 낫다. ~~물론 시험에서 쓰라고 값을 준다면 써야겠지만~~ * '''0의 기준이 다른 경우''' 대표적인 예로 [[온도]]가 있는데 [[절대온도]]와 [[랭킨온도]]를 제외한 나머지 온도 체계는 특정 두 기준점을 [math(n)]등분한 것을 단위로 삼았기 때문에 대부분의 체계가 다른 물리량처럼 비례 관계식으로 딱 떨어지지 않는다. 이를테면 물의 어는점을 [[화씨온도]]에서는 [math(32{\rm\,\degree\!F})]로 정의하고 [[섭씨온도]]에서는 [math(0{\rm\,\degree\!C})]로 정의하므로 둘 사이에는 눈금의 간격에 관한 비례 계수 외에도 [math(32)]만큼의 차이가 있으며 다음과 같이 기본 변환식의 꼴로밖에 나타낼 수 없다. 이때 (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)이므로 물리량에는 수치뿐만 아니라 단위까지 같이 넣어서 계산한다. ||
[math(T_{\rm\degree\!C} = \dfrac59{\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} - 32\right)}{\rm\degree\!C})] || [[섭씨온도]]를 [[절대온도]]로 환산하는 경우에도 마찬가지이다. ||
[math(T_{\rm K} = {\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C} + 273.15\right)}{\rm\,K})] || 단, [[열씨온도]]와 [[섭씨온도]], [[절대온도]]와 [[랭킨온도]] 등, 정의에 따라서는 비례관계가 성립해서 약식 변환식을 이용할 수 있는 경우도 있기는 하다. ||
[math(\begin{aligned} T_{\rm\degree\!R\acute e} &= \frac45\frac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C}\,{\rm\degree\!R\acute e} && \Leftrightarrow &1\,{\rm\degree\!R\acute e} &= \frac54{\rm\,\degree\!C} \\ T_{\rm\degree\!R} &= \frac95\frac{T_{\rm K}}{\rm K}\,{\rm\degree\!R} && \Leftrightarrow & 1\,{\rm\degree\!R} &= \frac59\,{\rm K}\end{aligned})] || ||영수는 미국 일기예보에서 워싱턴 D.C의 기온이 [math(45{\rm\,\degree\!F})][* 22/04/18 07:25(동부 시간), [[NOAA]]]라는 정보를 얻었다. 이를 섭씨 온도로 나타내어라. || ||[math(T_{\rm\degree\!F} = 45{\rm\,\degree\!F})]이므로 관계식에 대입하면 [math(\begin{aligned}T_{\rm\degree\!C} &= \dfrac59{\left(\dfrac{45\rm\,\cancel{\degree\!F}}{\rm\cancel{\degree\!F}} - 32\right)}{\rm\,\degree\!C} \\ &= \dfrac59\times13{\rm\,\degree\!C} \\ &\approx7.2{\rm\,\degree\!C} \end{aligned})] || 온도 이외에도 [[기년법]]이 이런 경우에 속한다. == 기타 == * [[자연 단위계]]는 순수하게 [[차원(물리량)|차원]] 분석에 기반하여 각종 [[물리 상수]]들의 연산을 통해 단위 물리량이 각각 기본 차원 하나만을 갖도록 재조정된 단위계이다. 주요 쓰임새는 단위 물리량으로 각 물리량을 [[무차원량|무차원화]]하는 규격화를 통해 표적으로 삼은 물리 상수들을 [math(1)]로 만들어서 수식을 간단하게 하는 것이다. 대표적으로 [[플랑크 단위계]]가 있다. * [[초등학교 수학]] 3학년 과정에서 처음 등장한다. 당연히 저걸 다 가르치면 아이들이 이해하지 못하기에, 직접 대입법 정도만 가르쳐서 중고등학생 때까지 계속 써먹는 편이다. * [[환율]]도 단위 변환의 한 예이다.