[include(틀:다른 뜻1, other1=행렬의 닮음, rd1=닮음(행렬), other2=닮은 꼴, rd2=닮은꼴)]
[include(틀:평면기하학)]

[목차]

Similarity

== 개요 ==
두 도형의 모양이 같음을 뜻한다. 수학적인 정의는 한 도형을 일정한 비율로 일그러지지 않게 확대하거나 축소했을 때 두 도형이 [[합동(기하학)|합동]]이 되는 경우이다.[* 여기서 일정한 비율로 도형을 확대한다는 것은 변의 길이를 확대하는 것이다.]. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우로서 닮음 안에 포함된다.  중학교 2학년 교육 과정에 포함되어 있으며, 중학교 과정에서 [[수포자]]를 양성하는 [[외심]], [[내심]], [[확률]], [[삼각형]], [[사각형]]처럼 학생들에게 최종보스급으로 여겨진다. (물론 중학교 3학년 과정에 가면 이차함수, 삼각비, 원주각이 있긴 하다. 이 중에서 원주각의 여러가지 공식들을 증명할때 삼각형의 닮음이 많이 이용된다.)
== 상세 ==
서로 닮음인 도형에서 대응하는 '''선분의 비율'''을 닮음비라고 한다. 예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ABC와 DEF의 닮음비가 1:2라는 말은, △DEF의 각 변 길이는 △ABC의 각 변 길이의 두 배라는 이야기이다. 물론 두 도형의 닮음비가 1:1이라면 그 두 도형은 [[합동(기하학)|합동]]이다.

닮음을 기호로 표현할 때는 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)[* 전세계적으로는 [[~]]가 더 많이 쓰인다.]를 사용한다. 예를 들어, 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음임을 아래와 같이 표현한다. 그리고 닮음비를 표시한다.
|| △ABC ∽ △DEF
(닮음비 a:b) ||

사실 유클리드 논증기하에서 '''[[피타고라스의 정리]]와 [[원주각]]만큼 우려먹는 도구.''' 기본적인 공식들은 전부 분수비로 보여져 변과 변의 곱을 표현하는 것은 사실 전부 닮음의 비율을 통해 도출할 수 있다. 기하학 문제 푸는데 정말 많이 쓰이는 [[메넬라오스 정리]]부터 이것을 통해 증명된 것이니.

[[위상수학]]에서는 더 나아가 [[구(도형)|구]]와 [[원뿔]]과 [[원기둥]]과 [[정육면체]]를 '''닮은 도형으로 간주한다'''. 정확하게는 [[준동형 사상|위상동형(homeomorphism)]] 관계의 도형이다.

서로 닮은 두 평면도형의 경우 넓이비는 닮음비의 제곱이다. 그리고 서로 닮은 두 입체도형의 경우 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱이며, 부피비는 닮음비의 세제곱이다. 따라서 서로 닮은 입체도형의 경우 부피의 제곱은 겉넓이의 세제곱에 비례한다.

=== 서로 항상 닮음인 도형들 ===
 * 두 각의 크기가 같은 모든 삼각형[* 두 각의 크기가 같다면 각이 세 개고 내각의 합이 180°이므로 자연히 다른 각의 크기도 동일하도록 결정된다. 따라서 세 각의 크기가 같다는 진술과 동치이다.](AA 닮음[* S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자다.])
 * 두 쌍의 대응변의 길이 비가 같고, 그 끼인각이 같은 삼각형(SAS 닮음)
 * 세 쌍의 대응변의 길이 비가 같은 삼각형(SSS 닮음)
 * 모든 직각이등변삼각형
 * 변의 개수가 같은 모든 [[정다각형]]
 * 면의 개수가 같은 모든 [[정다면체]]
 * 모든 [[원(도형)|원]]
 * 모든 [[구(도형)|구]]
 * [[쌍대다면체|자기 쌍대]]가 성립하는 모든 도형
 * 중심각의 크기가 같은 [[부채꼴]]
 * 이심률이 같은 모든 [[이차곡선]]
 * 모든 [[포물선]]
  * 간혹 [math(y=ax^2)]꼴의 함수에서 [math(a)]값에 따라 '모양'이 결정된다고 말하는 참고서가 있으나 적절한 표현이 아니다. 폭이 같은 것. 모든 포물선은 서로 닮음이기 때문에 모양이 같다. 얼핏 보면 모양이 달라 보이지만 확대/축소 해서 보면 같다.
 * 밑이 같은 [[지수함수]]와 [[로그함수]] [[그래프]][* [[지수(수학)|지수]]와 [[로가리듬|로그]] 말고도 서로 [[역함수]] 관계에 있는 그래프는 [math(y=x)] 를 축으로 하는 대칭 관계의 형태이다.]
 * [[로그함수#s-2.1|로그나선]]

[[분류:기하학]]