[include(틀:대수학)][include(틀:기하학·위상수학)]

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== 개요 ==
대수다양체([[代]][[數]][[多]][[樣]][[體]])는 부분적으로 다항식의 해집합으로 나타나는 공간을 뜻한다.

잘 알려진 예로는 [math(x+2y=1)]를 풀면 나오는 직선, [math(x^2 + y^2=1)]를 풀면 나오는 원, [math(x^2+2y^2=1)]를 풀면 나오는 타원, [math(x^2+y^2+z^2=1)]를 풀면 나오는 구면 등이 있다.
== 정의 ==
대수기하학에서 가장 많이 연구의 대상이 되는 것은 대수적 다양체이다. 간단하게 정의하자면, 먼저 [math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(S)]를 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 부분집합이라 하자. 그러면

[math( Z\left(S\right)=\left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in k^n|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }f\in S\right\})]

꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를   Zariski topology  라고 한다. 이는 아주 잘 정의된다. 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[* Topological space [math( X )]에 대해서 어떤 두 closed subset [math(Z_1,Z_2)]가 있어서 [math(Z_1\cap Z_2=\varnothing)]이고 [math(X=Z_1\cup Z_2)]라면 [math(Z_1,Z_2)] 둘 중 하나는 empty set이다.]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다.[* 수학적으로 variety와 manfold는 다른 개념이다. Manfold란 일반적인 기하학에서의 도형 같은 개념이고 variety는 대수 기하학에서 쓰이는 기하학적인 내용이다. 따라서  variety와 manfold는 완전히 다른 개념이다!  그런데 수학 서적이나 단어들이 한국어로 번역될 때 variety와 manfold 가 죄다 다양체로 번역돼서(...) 헷갈릴 수 있다.] 이렇게 정의하는 이유는 이를 [[환]]에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 다시 말하자면, 어떤 algebraic set [math(X)]가 있을 때

[math( I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in X\right\})]
라고 정의하자. 그렇다면,

[math( I\left(Z\left(S\right)\right)=\sqrt{\overline{S}})]
라는 게 알려져 있다.[* 이를 힐베르트 영점 정리(Hilbert Nullstellensatz)라고 부른다. 독일어 명칭이 통용된다.]여기에서 [math(\overline{S})]는 [math(S)]로 generated되는 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 ideal이고, [math(\sqrt{})]는 radical이라고 해서 [math( I )]가 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 ideal이라면
[math(\sqrt{I}=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f^n\in I \text{ for some }n\right\} )]
으로 정의한다. 그리고 [math(Z\left(S\right))]가 algebraic variety라는 것은 [math(\overline{S})]가 prime ideal이란 것과 동치다. [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 prime ideal [math(P)]에 대해서 다음이 성립한다.
[math( I\left(Z\left(P\right)\right)=P)]
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[* 이것은 중요한데, irreducible이 아니라면 그 경우 각각의 closed set들은 성질이 판이하게 다를 수 있다.]

그렇다면, 어떤 algebraic variety가 있을때 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까? 그 algebraic variety가 prime ideal [math(P)]로 표현된다면

[math( \Gamma\left(Z\left(X\right)\right)=k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety [math( Z\left(P\right))]와 일대일 대응을 이룬다. 이것의 의미는 [math(f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]이고 [math(\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in Z\left(P\right))]일 때 [math( f\left(a_1,\cdots,a_n\right))]이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 [math(X)]에서 [math(k)]로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 [math(\Gamma\left(Z\left(P\right)\right))]의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 [math(U)]가 [math(Z\left(P\right))]의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
[math( O_{Z\left(P\right)}\left(U\right)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]\text{ and }g\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in U\right\})]
그리고 모든 [math(U)]에 대해서 이런 꼴들의 [[환]]들을 모아놓은 것을 [math(Z\left(P\right))]의 structure sheaf라고 한다.

== 관련 연구와 응용 ==
대수 다양체의 성질을 연구하는 분야가 [[대수기하학]]이다. 대수 기하학은 [[대수학]], [[기하학]], [[해석학]], [[위상수학]], [[정수론]]([[대수적 정수론]], [[해석적 정수론]]),[[미분기하학]], 심지어 [[논리학]]이나 [[이산수학]] 등 수학 전 분야에 폭넓게 응용된다. ~~통계학이나 확률론에도 응용되는지 궁금하다.~~ ~~ 놀랍게도 Algebraic Statistics 라는 게 있다.~~

=== [[스킴(대수기하학)|스킴]] ===
=== [[에탈 코호몰로지]] ===
에탈 코호몰로지(etal cohomology)란 베유 추측을 풀기 위해 개발된 대수 기하학의 개념으로 간단히 말해서 [[실수체]]가 아닌 임의의 field 에서 cohomology를 정의한 것이다. 축약해서 설명한 것이므로 자세한 내용은  [[에탈 코호몰로지]] 문서 참조

== 기타 이야깃거리 ==
== 관련 문서 ==
 * [[알렉산더 그로텐디크]]
 * [[기하학]]
 * [[대수학]]
 * [[대수기하학]]
 * [[스킴(대수기하학)|스킴]]
 * [[다양체]]
 * [[사슬 복합체]]
 
[각주][include(틀:문서 가져옴, title=대수기하학, version=44)]

[[분류:수학]][[분류:대수학의 하위 학문]][[분류:기하학의 하위 학문]]