[[분류:선형대수학]]
[목차]
== 정의 ==
대칭행렬(symmetric matrix)은 다음을 만족하는 [[행렬]] [math(A)]를 말한다.

[math(A=A^{\sf T})]

여기서 [math(A^{\sf T})]는 [math(A)]의 [[전치행렬]]이다. 위 식을 만족하려면 [math(A)]는 [[정사각행렬]]이어야 한다. 

== 성질 ==
실수 성분 대칭행렬은 다음 성질들을 가진다.

 * [[고윳값]]들은 모두 실수이다.
 * 서로 다른 고윳값에 해당하는 [[고유벡터]]들은 서로 [[정규직교기저]]로 선택될 수 있다.
 * 따라서, [[대각화]] 가능하다. 즉, 대수적 중첩도(algebraic multiplicity)와 기하적 중첩도(geometric multiplicity)가 같다. 뿐만 아니라 대각화 시 기저변환행렬이 [[직교행렬]]이 된다. [[수반 연산자]] 문서 참고.

== 예 ==
[math(\begin{aligned}
A &= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
1 & 4 & 5 \\
4 & 2 & 6 \\ 
5 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix} \\
A^{\sf T} &= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ 
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 5 \\
4 & 2 & 6 \\ 
5 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix} \\
\therefore A &= A^{\sf T}
\end{aligned})]

== 관련 문서 ==
 * [[대각행렬]]
 * [[에르미트 행렬]] - 대칭행렬의 일반화이다.
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[리치 스칼라 곡률]]