[include(틀:다른 뜻1, other1=청나라의 연호, rd1=동치(연호))]
{{{+1 同値 / Equivalence}}}
[목차]
== [[집합론]]에서의 [[동치관계]] ==
[[논리학]] 및 [[집합론]]에서의 [[이항 관계]]의 일종. 자세한 사항은 [[동치관계|항목 참조]]

== [[논리학]]에서의 동치 ==
[[논리학]]에서 두 [[식]] 혹은 [[문장]] 간에 성립하는 관계. 상기한 [[동치관계]]의 일종이라고도 볼 수 있다. 크게 '''실질적 동치'''와 '''논리적 동치'''로 나뉜다.

=== 실질적 동치 ===
두 문장 간에 [[필요충분조건]]이 성립하는 경우를 두고 두 문장 간에 '''실질적 동치(material equivalence)'''가 성립한다고 말한다. 즉 두 문장 [math(P)]와 [math(Q)]가 동치일 경우 오직 그 경우에 [math(P \leftrightarrow Q)]는 [[참]]이다. 동일률이라고도 한다.

[[명제 논리]] 언어 [math(P \leftrightarrow Q)]의 참 여부는 주어진 모형/해석에 따라 달라지므로, 곧 두 문장 간의 실질적 동치 여부는 모형/해석 여부에 따라 달라진다. 즉 두 문장 간의 실질적 동치는 두 문장의 형식에 의한 것일 필요가 없다. 자세한 사항은 [[필요충분조건]] 항목 참조.

=== 논리적 동치 ===
문장 [math(P)]가 문장 [math(Q)]의 논리적 귀결이며, 또한 반대로 [math(Q)]가 [math(P)]의 논리적 귀결인 것을 두고 두 문장 [math(P)]와 [math(Q)] 간에 '''논리적 동치(logical equivalence)'''가 성립한다고 말한다. 

[[의미론]]/모형이론적으로 말하자면 [math(P)]와 [math(Q)]는 모든 모형/해석에서 [[진리치]]가 같을 경우 오직 그 경우에 논리적으로 동치다. 따라서 논리적 동치는 실질적 동치이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉 일상적으로 말하자면 두 문장 간의 논리적 동치는 두 문장의 형식에 의한 것이라고 말할 수 있다[* 논리적 동치는 두 문장의 '''[[의미]]'''에 의해서 참이 된다고 말하는 경우도 있는데, 이는 [[언어철학]]적으로는 논란이 있는 주장이다. 의미에 의해서 참이 되는 것을 두고 "분석적 참"이라고 부르는데, 분석적 참과 논리적 참은 명백히 다른 것으로 보이기 때문이다. [[콰인]] 참조.].

==== 논리적 동치의 예시 ====
표준적인 [[명제 논리]]에서 도출되는 대표적인 논리적 동치의 예시들은 다음과 같다.

===== 이중부정 =====
 [math(p\equiv \neg \left(\neg p \right)  )]

===== 결합규칙 =====
 [math(\left[p \wedge \left(q \wedge r \right) \right] \equiv  \left[\left(p \wedge q \right) \wedge r \right] )]
 [math(\left[p \vee \left(q \vee r \right) \right] \equiv \left[\left( p \vee q \right) \vee r \right] )]

===== 한마디법(동어반복) =====
 [math(\left(p \wedge p \right)\equiv p )]
 [math(\left(p \vee p \right)\equiv p )]

===== 분배규칙 =====
 [math( \left[p \wedge \left( q \vee r\right)\right] \equiv \left[\left( p \wedge q \right) \vee \left( p \wedge r \right)\right] )]
 [math( \left[p \vee \left( q \wedge r \right)\right] \equiv \left[\left( p \vee q \right) \wedge \left( p \vee r \right) \right] )]

===== 드모르간 규칙 =====
 [math( \neg \left(p \vee q \right) \equiv \left( \neg p \wedge \neg q \right) )]
 [math( \neg \left(p \wedge q \right) \equiv \left( \neg p \vee \neg q \right) )]

===== 자리뒤집기 =====
 [math( \left( p \rightarrow q \right) \equiv \left( \neg  q \rightarrow \neg p \right) )]

===== 자리바꾸기 =====
 [math( \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( q \leftrightarrow p \right)  )]
 [math( \left( p \wedge q \right) \equiv \left( q \wedge p \right)  )]
 [math( \left( p \vee q \right) \equiv \left( q \vee p \right)  )]

===== 전건규칙 =====
 [math( \left[ \left( p \wedge q \right) \rightarrow r \right] \equiv \left[ p \rightarrow \left( q \rightarrow r \right) \right] )]

===== 선언화/조건화(단순함축) =====
 [math( \left( p \rightarrow q \right) \equiv \left( \neg p \vee q \right) )]
===== 조건문의 정의(단순함언) =====
 [math( \left( p \rightarrow q \right) \equiv \neg \left( p \wedge \neg q \right) )]

===== 쌍조건문의 정의(단순동치) =====
 [math( \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left[ \left( p \rightarrow q \right) \wedge \left( q \rightarrow p \right) \right] )]

===== 쌍조건문의 부정 =====
 [math( \neg \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( p \leftrightarrow \neg q \right) )]

[include(틀:문서 가져옴, title=연역논증, version=60, paragraph=3.2.2)]
[[분류:논리학]]