[include(틀:해석학·미적분학)]
[목차]
== 개요 ==
> [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)] [*가 Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variae considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quae in motibus corporum coelestium occurrunt - Abraham de Moivre, 1730 (Google Books) [[https://books.google.co.kr/books/about/Miscellanea_analytica_de_seriebus_et_qua.html?id=TFX1165yEc4C&redir_esc=y]] ,(인터넷 아카이브) [[https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C]] ]
> [math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][* 오일러 공식을 함수꼴로 쓸 때의 형태.]
''' ''de Moivre’s formula'' '''
[[오일러 공식]]에서 유도되는, 절대값이 1인 복소수의 '''실수지수 거듭제곱'''을 단순화시켜주는 공식이다.[* 지수함수의 복소수지수 거듭제곱은 다가함수가 되기 때문에, 드 무아브르 공식으로 유도되는 값은 대표값이 된다.]
||이므로, 양쪽 항에 각각 [math(n)]거듭제곱을 취하면
[math(\left(e^{i\theta}\right)^{n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n})]
[math(e^{in\theta}=\cos \left ( n\theta \right) +i\sin \left (n\theta \right))]||
또한 이 공식에 따라 허수지수함수는 반쌍형성[* 즉 [[켤레복소수|켤레]] 대칭]을 띤다.
||[math(\overline{\rm cis}(x) = {\rm cis}(-x))]||
== 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명 ==
증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다.
> '''{{{+2 전제}}}'''
> 정수론에서, 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]은 다음과 같이 정의된다.
> ①. 자연수 집합 [math(\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}})]
> ※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 [[자연수]] 항목 참조.
> ②. 음의 정수 집합 [math(\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\})]
> ※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다.
> ③. 덧셈의 항등원 집합인 [math(\{0\})]
> → 정수의 집합 [math(\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}})]
이 전제를 토대로, 수학적 귀납법을 통해 증명한다.
=== 정수 ===
==== 자연수(양의 정수) ====
||①. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]는 [math(n=1)]일 때는 자명하다.
②. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]가 임의의 양의 정수 [math(k)]에서 성립한다고 가정하자.
즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 성립한다.
이제, 양변에 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right))]를 곱해보자.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=\left \{ \cos\left ( k\theta \right )+i\sin\left ( k\theta \right ) \right \}\times\left ( \cos \theta+i\sin \theta \right ))]
좌변은 지수의 성질에 의하여 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1})]이 되고, 우변은 전개하면 다음과 같아진다.
[math(\cos\left ( k\theta \right )\cos \theta-\sin\left ( k\theta \right )\sin\theta+i\left \{\sin\left ( k\theta \right )\cos\theta +\cos\left ( k\theta \right ) \sin\theta \right \})]
이제, [[삼각함수의 덧셈정리]]에 의하여 정리해주면, 이 식은 이렇게 단순화된다.
[math(\cos\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \}+i\sin\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \})]||
즉, [math(k)]에서 성립할 때, [math(\left(k+1\right))]에서도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 이 식은 모든 자연수 [math(n)]에 대해서 항상 성립한다. 이로써 자연수(=양의 정수) 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.
==== 0 ====
> [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에서, [math(n=0)]일 때
> 좌변은 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1)]이며
> 우변은 [math(\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1)]이므로 자명하다.
==== 음의 정수 ====
>라는 것과 [math(\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta))]라는 것을 기억하자.
>이제, 음의 정수 [math(k)]에 대해서, [math(k=-t)]가 되는 양의 정수 [math(t)]를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해
>[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }})]가 된다.
>이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 [math(\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) )]를 곱하자. 이는 [math(\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right))]의 켤레 복소수이다.
>[math(\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right))]가 된다.[* [math(\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}}=\displaystyle{\frac{z_{1}\bar{z_2}}{\left|z_2\right|^{2}}})]라는 점을 이용해도 된다. [math(z_1=1)], [math(\left|z_2\right|=1)]이므로 [math(\displaystyle{\frac{1}{z_2}}=\bar{z_2})]라고 해석할 수도 있다.]
>이 때, [math(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다.
>
>이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.
=== 실수 ===
==== 유리수 ====
||{{{+2 전제}}}
정수지수에서 성립함을 보였기 때문에 이를 이용한다.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos (n\theta)+i\sin(n\theta))]가 유리수 지수 [math(n=\displaystyle{\frac{a}{b}})] (a, b는 서로소인 정수)에서 성립한다고 하자.
즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}=\displaystyle{\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin\left(\frac{a}{b}\theta\right) })]가 성립한다고 하자.
이제, 양 변을 [math(b)]제곱하자.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta \right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)b}}=\displaystyle{\left(\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin \left(\frac{a}{b}\theta \right) \right)^{b}})]
좌변을 정리하면 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{a}=\cos \left ( a\theta \right)+i\sin \left ( a\theta \right) )]가 되고, 우변도 정리하면 다음과 같다.
[math(\cos \left( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)+i\sin \left ( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)=\cos \left( a\theta \right )+i\sin \left ( a\theta \right) )]
양 변의 계산값이 같으므로, 유리수 지수에서도 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.
(이 증명 방식대로라면 전제를 [math(0=0)]으로 두고 임의의 실수 [math(a, b)]에 대하여 [math(a=b)]라고 가정하면 [math(a*0=b*0=0)]이 성립하므로 [math(a=b)]가 성립한다)||
==== 무리수 ====
>{{{+2 전제1. 실수의 완비성}}}
> 수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다.
> ※예시
> [math(\sqrt{2}=1.414213\cdots)]라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다.
> [math(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots)]
> [math(\displaystyle{\frac{a}{b}})]라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다.
> [math(a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}})]
>{{{+2 전제2. 지수함수의 무리수지수 정의}}}
> [math(a^{b})]라는 수가 주어졌을 시, [math(b)]가 무리수라면, 이 [math(b)]를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 [math(u_{n}, l_{n})]을 만들 수 있다.
> 그렇다면, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}})]로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 [math(a^{b})]라고 정의된다.
이로써 유리수, 무리수 지수에서 모두 성립하므로, 실수 지수에서 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.
즉, 실수의 완비성에 의하여 모든 실수 지수에서 성립하게 되는 것이다.
== 복소근 ==
드 무아브르 공식은 [[1의 n제곱근]](nth root of unity)에서 나타나는 복소수인 복소근을 보여주는 성질을 갖고있다.
이러한 성질은 n차방정식의 n개의 근을 갖는다는 [[대수학의 기본 정리]]를 잘 보여준다.
=== 방정식 예 ===
[math( x^3 =1 )]
[math(x^3-1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면
{{{#!wiki style="text-align: center;"
[br][math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)]}}}
[[이차방정식]] [math(x^2+x+1=0)]을 [[근의 공식]]으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center;"
[br][math( x=1\;\textsf{또는}\;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \text{와} \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} )] }}}
[math(x^3=1)](또는 [math(x^2+x+1=0)])의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 [math(\overline \omega)]로 표기함으로써 [[켤레복소수]]임을 나타낼수있다.
=== 삼각함수 예 ===
예 1의 3제곱근 [math( x^3 =1 )]에서 보면 드무아브르 공식은 다음과 같다.
[math( x^n =a (\cos\theta + i\sin\theta) \textrm{ 이때 } a= \omega^n (n\text{th root of unity}))]
[math( x^3 = \left(a(\cos\theta + i\sin\theta) \right)^3 = 1(\cos\theta + i\sin\theta) )]
[math( a^3(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = 1(\cos360\degree + i\sin360\degree) )]
[math( a^3(\cos3\theta + i\sin3\theta) = 1(\cos360\degree + i\sin360\degree) )]
[math( a^3= 1 \, \textrm{그리고 }3\theta = 360\degree k + 360\degree k )]
[math( \theta = \dfrac{360\degree}{3}k + \dfrac{360\degree}{3}k \quad)]
[math( \theta = 120\degree k + 120\degree k )]이고
[math( k=\{n-1,n-2,...,n-n\}= \{2,1,0\} )]이므로
따라서
[math( \theta= 120\degree,240\degree,0\degree)]
따라서
[math( x = \cos 120\degree + i\sin 120\degree \, , \cos 240\degree + i\sin 240\degree \, , \cos 0\degree + i\sin 0\degree \, )]
따라서 이렇게
{{{#!wiki style="text-align: center;"
[br][math( \;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \; , \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \;, x=1\;)] }}} 를 조사할수도 있다.
=== 컨텍스트 ===
결론적으로 드무아브르 공식은 1의 3제곱근에서 보면
[math( \omega^1 = \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} )]이고
[math( \omega^2 = \omega \cdot \omega = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) = \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2})] 이고
[math( \omega^3 = \omega \cdot \omega^2 = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \right) = 1 )] 이다.
그리고
[math( \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega^1 = \omega^1 )] 이다.
이러한 맥락(context)에서 1의 3제곱근 드무아브르 공식은
[math( \omega)]의 지수를 순서수로 다루어 본다면
[math( \omega^1)]을 자기 자신으로 하는 [math(1,2,3,1,2,3,...)]의 순환 [[순열군]]인 [[순환군]]의 맥락(context)을 보여준다는 점에서 주요하다고 할수있다.
한편 드무아브르 공식은 1의 n제곱근에서
[math( \omega^n =1)]임을 조사할수있다.
[[분류:해석학(수학)]][[분류:기하학]][[분류:대수학]]