[[분류:선형대수학]]
[include(틀:선형대수학)]
[목차]
== 개요 ==
멱등행렬([[冪]][[等]][[行]][[列]], Idempotent matrix)이란 제곱했을 때 자기자신이 되는 행렬을 뜻한다. 여기서 '멱'(冪)이란 '거듭제곱'이라는 뜻으로, '멱급수'의 '멱'과 같다.

== 정의 ==
[math(E^2=E)]를 만족하는 [math(n)]차 정사각행렬 [math(E)]를 멱등행렬이라 한다.

== 예시 ==
 * [math(n)]차 정사각행렬의 영행렬 [math(O_{n})]과 [[단위행렬]] [math(I_{n})]은 멱등행렬이다. 
 * [math(J_{n})]을 모든 성분이 1인 [math(n)]차 정사각행렬 (Matrix of ones)이라 할때, [math(\frac{1}{n}J_{n})]은 멱등행렬이다.
  [math((J_{n})^{2}=\begin{pmatrix}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \begin{pmatrix}1\\ \vdots \\1\end{pmatrix}}&\cdots&{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \begin{pmatrix}1\\ \vdots \\1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}=nJ_{n})]
  이므로, [math(\left(\displaystyle\frac{1}{n}J_{n}\right)^{2}=\displaystyle\frac{1}{n}J_{n})]이 성립한다.
 * 사영행렬 [math(A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]은 멱등행렬이다.
  [math(\{A(A^{T}A)^{-1} A^{T}\}^{2} = A\{(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)\}(A^{T}A)^{-1}A^{T}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]

== 대각화 ==
멱등행렬은 [[대각화]] 가능한 행렬이다. [math(f(x)=x^2-x)]가 [math(E )]의 소멸다항식[* 대입했을 때 0이 되는 다항식]이므로, [math(E)]의 최소다항식[* 소멸다항식 중 최고차항의 계수가 1이고 차수가 가장 낮은 다항식]은 [math(x^2-x=x(x-1))]의 약수이다. 그런데, 그러한 다항식은 [math(x)], [math(x-1)], [math(x(x-1))]밖에 없고, 모두 서로 다른 1차다항식의 곱꼴이므로, 대각화 가능하다. 또한 최소다항식의 근이 0이거나 1일 수 밖에 없으므로 고유값은 0이거나 1이다.  대각합은 닮음불변량이므로, 1의 중복도는 [math(\text{tr}E )]와 같고, 0의 중복도는 [math(n-\text{tr}E)]와 같음을 쉽게 알수있다. 또한 [math(E)]의 각 열벡터는 1에 대응하는 고유벡터이다. 왜냐하면, [math(E_{i})]를 [math(E)]의 [math(i)]열이라 했을 때,
[math(E^{2}=E \iff E(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n})=(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}))]
이 성립하여, [math(EE_{i}=E_{i})]를 만족하기 때문이다. 따라서, 열공간이 1에 대응하는 고유공간이다. 한편, [math(\text{Rank}(E)\neq n)][*  n은 정사각행렬 [math(E)]의 크기]이면 영공간이 0에 대응하는 고유공간이므로, [[차원 정리]]에 의해서도 대각화가능함을 알 수 있다. 위를 정리하면 아래와 같다.
 * 고유 다항식 : [math(x^{n-\text{tr}E}(x-1)^{\text{tr}E})]
 * 최소 다항식 : [math(x)][* E=O일 때] 또는 [math(x-1)][* E=I일 때] 또는 [math(x(x-1))]
 * 고윳값 : 1 [* 0행렬이 아닐때]또는 0[* 단위행렬이 아닐 때]
 * 고유공간 
  1) 0에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 영공간 ([math(E\neq I)]일 때만)
  2) 1에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 열공간 ([math(E\neq O)]일 때만)
 * 대각화: [math(I)]와 [math(O)]는 이미 대각행렬이다. 그 외의 경우도 항상 대각화 가능하며, 대각화 시
  [math(\begin{pmatrix}1& & & \\ & \ddots & &\\ & & 1& & \\ & & &0 \\& & & &\ddots \\ & & & & &0\end{pmatrix})] [* 비워둔 곳은 당연히 0이다.]
 
  [math()]

== 사영과의 관계 ==
멱등행렬은 유한차원 벡터공간의 임의의 벡터를 어떤 부분공간 위로 사영시키는 [[선형 변환]]의 [[행렬표현]](matrix representation)이다. 유한차원 벡터공간에서 [[직교정사영]]의 정규 직교 기저에 대한 행렬표현은 영공간이 열공간의 직교여공간이다. 즉, 직교대각화 가능한 멱등행렬이며, 특히 성분이 모두 실수일 경우, 멱등행렬인 동시에 [[대칭행렬]]이다.

== 성질 ==
 * [math(E^2=E)]가 성립하고 [math(E^n=E)]이면 [math(E^{n+1}=E^nE=E^2=E)]이므로, [[수학적 귀납법]]에 의하여 1 이상의 모든 자연수 n에 대하여 [math(E^n=E)]가 성립한다.
 * 임의의 대각화 가능한 행렬 [math(D)]에 대하여, 고유값이  [math(c_{1},\cdots,c_{k})]일 때, 다음 조건
  * [math(D=c_{1}E_{1}+\cdots +c_{k}E_{k})]
  * [math(I=E_{1}+\cdots+E_{k})]
  * [math(E_{i}E_{j}=O)] for [math( i\neq j)]
 을 만족하는 행렬 [math(E_{1}, \cdots , E_{k} )]가 존재하며, 각 [math(E_{i})]는 멱등행렬이고, [math(E_{i})]의 열공간은 [math(D)]의 [math(c_{i})]에 대응하는 고유공간이다.
 * 또한 임의의 다항식 [math(p)]에 대하여, 
 [math(p(D)=p(c_{1})E_{1}+\cdots+p(c_{k})E_{k})]
 가 성립하며, 특히 [[라그랑주 다항식]] [math(p_{i}=\displaystyle\prod_{j\neq i} \frac{x-c_{j}}{c_{i}-c_{j}})]에 대하여,  [math(p_{i}(D)=E_{i})]가 성립한다.
 * 단위행렬 [math(I)]에 대해 [math(I-E)] 역시 멱영행렬이다.
  * 증명 : [math((I-E)^2 = I^2-2E+E^2 = (I^2)+(-2E+E) = I-E)]
 * 임의의 실수 [math(a)]와 단위행렬 [math(I)]에 대해 [math(E^2-E+aI=aI)]가 성립하므로 다음과 같다. 여기서는 [math(-10\leq a\leq \displaystyle\frac{1}{4})]이며 [math(a)]가 정수 또는 이 범위의 양 끝값 중 하나인 경우만 다룬다.
  * [math(a=-6)]일 때, [math(E^2-E-6I=(E+2I)(E-3I)=-6I)], 즉 [math(\displaystyle-\frac{1}{6}(E+2I)(E-3I)=I)]이므로 [math((2I+E)^{-1}=\displaystyle\frac{1}{2}I-\displaystyle\frac{1}{6}E)]이다.
  * [math(a=-2)]일 때, [math(E^2-E-2I=(E+I)(E-2I)=-2I)], 즉 [math(\displaystyle-\frac{1}{2}(E+I)(E-2I)=I)]이므로 [math((I+E)^{-1}=I-\displaystyle\frac{1}{2}E)]이다.
  * [math(a=\displaystyle\frac{1}{4})]일 때, [math(E^2-E+\displaystyle\frac{1}{4}I=\displaystyle\frac{1}{4}I)], 즉 [math(4E^2-4E+I=(2E-I)^2=I)]가 성립하므로 [math((2E-I)^{-1}=2E-I)]이다.
 * 주대각선의 모든 원소가 0 또는 1이고 나머지 원소가 모두 0인 n차 정사각행렬 [math(A)]은 멱등행렬이다.
 증명:
 [math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
 일 때,
 [math(A^2=\begin{pmatrix}a_{11}^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^2\end{pmatrix})]
 이고, 이때 주대각선의 원소 [math(a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn})]가 모두 0 또는 1이면 [math(a_{11}=a_{11}^2, ..., a_{nn}=a_{nn}^2)]이므로 결론적으로 [math(A=A^2)]가 성립한다.
 * 이 행렬 [math(A)]에 대해서 역행렬이 존재하는 임의의 n차 정사각행렬 [math(X)]에 대해 [math(XAX^{-1}, X^{-1}AX)] 역시 멱등행렬이다. 사실 모든 멱등행렬 [math(A)]에 대해 성립한다.
  * 증명1: [math((XAX^{-1})^2=XAX^{-1}XAX^{-1}=XAAX^{-1}=XA^2X^{-1}=XAX^{-1})]
  * 증명2: [math((X^{-1}AX)^2=X^{-1}AXX^{-1}AX=X^{-1}AAX=X^{-1}A^2X=X^{-1}AX)]
 * [math(X\sim N_m(0,\,1))]이고 [math(A)]가 멱등행렬이면, [math(X^TAX\sim\chi^2({\rm rank}(A)))]이다.