[[분류:수학상수]][[분류:수학 용어]] [include(틀:수학상수의 목록)] [목차] == 정의 == {{{+1 Münc(h)hausen[* h를 한 번 쓰기도 하고 두 번 쓰기도 한다. 이에 따라 뮌하우젠 수를 '뮌'''히'''하우젠 수'라고도 한다.] number · Münc(h)hausen [[數]]}}} 음이 아닌 [[정수]] [math(n)]과 [math(i)], [math(0\leq a_i\leq 9)]인 정수 [math(a_i)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(n=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} 10^i a_i=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} {a_i}^{a_i}\left(=\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} a_i \uparrow\uparrow 2\right))]}}}[*

\uparrow

를 여러 개 사용하여 [math(n)]차 연산을 표현하는 방식을 [[커누스 윗화살표 표기법]]이라고 하며, 그 중 윗화살표를 두 번 쓰는 연산을 4차 연산, 즉 [[테트레이션]]이라고 한다.] 를 만족시키는 [math(n)]을 뮌하우젠 수라고 한다. 이때 [math(\log)]는 [[상용로그]]이다. 쉽게 말해 [[십진법]]으로 나타낸 음이 아닌 정수에 대하여, 각 자리를 그 자릿값만큼 거듭제곱한 결과를 모두 더하면 자기 자신이 되는 [[정수]]가 뮌하우젠 수라는 뜻이다. 본래 [[0의 0제곱|[math(0^0)]]]은 정의되지 않지만, 뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의하여, 숫자 0을 포함하는 수도 뮌하우젠 수가 되도록 한다. == 찾는 과정 == 정수 [math(n=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor} 10^i a_i)]에 대하여 [math(S(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor} {a_i}^{a_i})]으로 놓으면, [math(m=\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor+1)]에 대하여 [math(S(n))]의 최댓값은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math({\rm{max}}_n\{S(n)\}=S(10^m-1)=9^9m)]}}} 곧, [math(n)]이 [math(m)]자리 수일 때, [math(S(n))]이 최대한 커지려면 [math(m)]자리 정수 [math(n)]의 모든 자릿수가 [math(9)]여야 하기에 [math(S(n))]의 최댓값은 [math(9^9m)]이라는 말이다. 이때 '''자연수''' [math(m)]에 관한 지수[[방정식]] [math(9^9m<10^{m-1}-1)]의 해는 [math(m\geq 11)]이다([[https://www.wolframalpha.com/input/?i=9%5E9m%3C10%5E%7Bm-1%7D-1|풀이]]). 이는 11자리 이상의 양의 정수는 무조건 [math(S(n)